https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1928/Nougaku

2022.08.31記

[1] 曲線 $y^2(x+a)=x^3$ ノ漸近線ヲ求メヨ．

2024.12.31記

[解答]
$y^2=x^2-ax+a^2-\dfrac{a^3}{x+a}$
となるので， $y$ 軸に平行な漸近線は $x=-a$ のみである．

$y=\pm\sqrt{x^2-ax+a^2-\dfrac{a^3}{x+a}}$ $=\pm x\sqrt{1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{a^2}{x^2}-\dfrac{a^3}{x^2(x+a)}}$ $\approx \pm x\left(1-\dfrac{a}{2x}\right)$ $=\pm \left(x-\dfrac{a}{2}\right)$
であるから， $y=\pm \left(x-\dfrac{a}{2}\right)$ という漸近線ももつ．

よって漸近線は $x=-a$ ， $y=\pm\left(x-\dfrac{a}{2}\right)$ の3本．

■ グラフの概形は

のようになる．

■ $\left(\dfrac{y}{x}\right)^2=\dfrac{x}{x+a}\to 1$ （ $x\to\pm\infty$ ）と変形すれば $y=x+p$ ， $y=-x+q$ 型の漸近線が示唆される．

■ 高校生のとき， $y=mx+n$ と $y^2(x+a)=x^3$ が $x=\pm\infty$ で接すれば良いので
$(mx+n)^2(x+a)=x^3$ で $t=\dfrac{1}{x}$ と置いた
$(m+nt)^2(1+at)-1=0$
が $t=0$ で重解をもてば良い．よって定数項と $t$ の係数が0になれば良い．
$m^2-1=0$ ， $2mn+am^2=0$
から $(m，n)=\left(1，-\dfrac{a}{2}\right)，\left(-1，\dfrac{a}{2}\right)$ を得る，と導くやり方を教わった．