https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1928/Kougaku

2022.08.31記

[3] $y=ax ^2+2a^2x+9a+3a^2+6$ の $x$ に就いての極大値を極小ならしむるには， $a$ を如何に取ればよきかを決定し，而して此曲線と $x$ 軸との二交點間の曲線の長さを求めよ．

2024.12.31記

[解答]
$y=ax ^2+2a^2x+9a+3a^2+6$ $=a(x+a)^2-a^3+3a^2+9a+6)$
が極大値をもつのは， $a\lt 0$ のときで，極大値は
$f(a)=-a^3+3a^2+9a+6$
となる．
$f'(a)=-3a^2+6a+9=-3(a+1)(a-3)$
により $f(a)$ は $a=-1$ で極小となる．
このとき， $y=-x(x-2)$
であり，この曲線の $0\leqq x\leqq 2$ の部分の長さは
$y=x^2$ の $0\leqq x\leqq 1$ の部分の長さの2倍となるので，
$2\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\, dx$ $=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+u^2}\, du$ $=\dfrac{2\sqrt{5}+\log (2+\sqrt{5})}{2}$
である．