https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1928/Kougaku

2022.08.31記

[2] 方程式 $Ax+By+Cz+D=0$ は平面を表はすことを證明せよ．

2024.12.31記

[解答]
$A^2+B^2+C^2\neq 0$ とする．

$\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{P}(A，B，C)$ ， $\mbox{X}(x，y，z)$ とおくと
$\overrightarrow{\rm OP}\bullet \overrightarrow{\rm OX}=-D=(一定)$
であるから
$\mbox{Q}\left(\dfrac{-DA}{A^2+B^2+C^2}，\dfrac{-DB}{A^2+B^2+C^2}，\dfrac{-DC}{A^2+B^2+C^2}\right)$
とおくと
$\overrightarrow{\rm OP}\bullet \overrightarrow{\rm OX}$ $=\overrightarrow{\rm OP}\bullet \overrightarrow{\rm OQ}$
となり，
$\overrightarrow{\rm OP}\bullet \overrightarrow{\rm QX}=0$
となる．よって $\rm X$ は点 $\rm Q$ を通り $\rm OP$ に垂直な平面を表す．