https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1928/Igaku

2022.08.31記

[2] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(\tan 2x)}{\log(\tan x)}$ を求めよ．

2024.12.31記
$x≒0$ で
$\dfrac{\log(\tan 2x)}{\log(\tan x)}$ $≒\dfrac{\log(2x)}{\log x}$ $=\dfrac{\log x +\log 2}{\log x}$ $=1+\dfrac{\log 2}{\log x}≒1$
となる．

[解答]
$\dfrac{\log(\tan 2x)}{\log(\tan x)}-1$ $=\dfrac{\log\dfrac{\tan 2x}{\tan x}}{\log(\tan x)}$ $=\dfrac{\log\left(2\cdot \dfrac{\tan 2x}{2x}\cdot \dfrac{x}{\tan x}\right)}{\log(\tan x)}$ $\to\dfrac{\log 2}{-\infty}=0$ （ $x\to +0$ ）
だから
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(\tan 2x)}{\log(\tan x)}=1$
となる．

[解答]
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\log(\tan 2x)=-\infty$ ，
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\log(\tan x)=-\infty$
であり，
$\dfrac{\dfrac{d}{dx}\log(\tan 2x)}{\dfrac{d}{dx}\log(\tan x)}$ $=\dfrac{\dfrac{2}{\sin 2x\cos 2x}}{\dfrac{1}{\sin x\cos x}}$ $=\dfrac{1}{\cos 2x}$ $\to 1$ （ $x\to +0$ ）
であるから，ロピタルの定理から
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(\tan 2x)}{\log(\tan x)}=1$
となる．