https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1927/Rigaku

2022.08.31記

[3] 全面積ガ一定ニシテ體積ガ極大ナル直圓錐ノ高サト底ノ半徑トノ比ヲ求メヨ．

2024.12.30記
1921年(大正10年)東京帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

に言及してあるように，

[解答]
円錐の底面の半径，母線の長さをそれぞれ $r，l$ とすると，体積 $V$ と表面積 $S$ は
$V=\dfrac{\pi}{3}r^2\sqrt{l^2-r^2}$ ， $S=\pi r(l+r)$
であるから， $\dfrac{S}{\pi}=T$ とおくと $l=\dfrac{T-r^2}{r}$ であるから，
$V=\dfrac{\pi}{3}r^2\sqrt{\left(\dfrac{T-r^2}{r}\right)^2-r^2}$
$=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{T^2r^2-2Tr^4}$
となる．ここで $R=r^2$ とおくと
$V=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{2TR\left(\dfrac{T}{2}-R\right)}$
は $R=\dfrac{T}{4}$ のときに最大となる．このとき
$l=3r$
となるので円錐の高さを $h$ とおくと $h=2\sqrt{2} r$ となる．

つまり高さと半径との比は $2\sqrt{2}:1$ となる．