https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1927/Rigaku

2022.08.31記

[2] $a$ 及ビ $b$ ガ常數ナルトキハ $\dfrac{1}{x^2+ax+b}$ ノ値ノ變動を研究シ圖ヲ用ヒテ之ヲ表ハセ．

2024.12.30記

[解答]
$y=\dfrac{1}{x^2+ax+b}$ のグラフは $x=-\dfrac{a}{2}$ に関して線対称である．

(i) $a^2-4b\lt 0$ のとき： $y=x^2+ax+b$ のグラフが $x$ 軸で交わらない下に凸な放物線であることから，

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$-\dfrac{a}{2}$	$\cdots$	$+\infty$
$y$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$

と変動する．

(ii) $a^2-4b=0$ のとき： $y=\dfrac{1}{\left(x^2+\dfrac{a}{2}\right)^2}$ のグラフは

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$-\dfrac{a}{2}$	$\cdots$	$+\infty$
$y$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$	$\searrow$	$0$

と変動する．

(iii) $a^2-4b\gt 0$ のとき： $\alpha=\dfrac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$ ， $\beta=\dfrac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$ とおくと，

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$-\dfrac{a}{2}$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$+\infty$
$y$	$0$	$\nearrow$	$+\infty/-\infty$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$-\infty/+\infty$	$\searrow$	$0$

と変動する．

（図略）