1927年(昭和2年)東京帝國大學農學部-數學[3]

2022.08.31記

[3] Logarithmic spiral $\rho=e^{a\theta}$ ノ $\theta$ ガ $0$ カラ $\pi$ ニ至ルマデノ曲線ノ長サヲ求メヨ．

[3] 對數螺旋 $\rho=e^{a\theta}$ ノ $\theta$ ガ $0$ カラ $\pi$ ニ至ルマデノ曲線ノ長サヲ求メヨ．

[3] 対数螺旋 $\rho=e^{a\theta}$ の $\theta$ が $0$ から $\pi$ に至るまでの曲線の長さを求めよ．

2024.12.31記

[解答]
曲線の長さは
$\displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{\rho^2+\left(\dfrac{d\rho}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{e^{2a\theta}+a^2e^{2a\theta}}\,d\theta$ $=\sqrt{1+a^2} \displaystyle\int_0^{\pi} e^{a\theta}\,d\theta$ $=\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a} (e^{a\pi}-1)$
である．

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