https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1927/Kougaku

2022.08.31記

[3] 點 $(-a,0)$ ヨリ曲線 $y^2=4ax$ （ $a\gt 0$ ）ニ二ツノ切線ヲ引キタルトキ切點間ノ曲線ノ長サ及ビ切線ト曲線トノ包ム面積ヲ求ム．

2024.12.30記
放物線の弧長には
$\displaystyle\int \sqrt{x^2+1}\, dx=\dfrac{x\sqrt{x^2+1}+\log(x+\sqrt{x^2+1})}{2}+C$
が登場する．

[解答]
$y^2=4ax$ の $(\alpha，\beta)$ における接線 $\beta y=2a(x+\alpha)$ が $(-a，0)$ を通るので $\alpha=a$ ， $\beta=\pm 2a$ となる．

よって包む面積は $\dfrac{1/|4a|}{12}\cdot |4a|^3=\dfrac{4a^2}{3}$ である．

曲線の長さは
$2\displaystyle\int_0^{2a}\sqrt{1+\left(\dfrac{y}{2a}\right)^2}\, dy$ $=4a\displaystyle\int_0^{1}\sqrt{1+u^2}\, du$ $=4a\cdot\dfrac{\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})}{2}$ $=2a\{\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})\}$
である．