https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1927/Kougaku

2022.08.31記

[2] $y=\log\tan\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)$ ， $x=\sin t$ ナルトキ $y$ ヲ $x$ の函數トシテソノ曲線ノ大體ヲ畫ケ．

2024.12.30記
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\cos x}=-\log \left| \tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+C$ を良く見るけど， $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\cos x}=\log \left| \tan\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+C$ はあまり見ない気がする．
$\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)}$ なので基本的に同じなのだけど．ともかく， $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\cos t}$ の予感がして欲しいところ．

$x=f(t)$ ， $y=g(t)$ のとき，
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}{\{f'(t)\}^3}$
も公式の存在だけは知っておこう．

[解答]
$\log\tan\Bigl(-\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=\log\cot\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=-\log\tan\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)$ ， $\sin(-t)=-\sin t$ により，グラフは原点対称である．

$\tan$ の周期は $\pi$ であるから， $y=\log\tan\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)$ の周期は $2\pi$ ， $\sin$ の周期は $2\pi$ であるから， $x=\sin t$ の周期も $2\pi$ となる．よって $-\pi\leqq t\lt \pi$ で考えれば良いが，この範囲で $y$ が値を持つのは $-\dfrac{\pi}{2}\lt t \lt \dfrac{\pi}{2}$ となるので，以下， $-\dfrac{\pi}{2}\lt t \lt \dfrac{\pi}{2}$ で考え，グラフが点対称であることから $0\leqq t\lt \dfrac{\pi}{2}$ で考える．

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\tan\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\cdot \dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{2\sin\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\cos\Bigl(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}$ $=\dfrac{1}{\sin\Bigl(t+\dfrac{\pi}{2}\Bigr)}$ $=\dfrac{1}{\cos t}$
であるから， $x\geqq 0$ で
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{\cos^2 t}$
は単調増加．

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\dfrac{d^2y}{dt^2}\cdot\dfrac{dx}{dt}-\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}}{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^3}$ $=\dfrac{2\sin t}{\cos^4 t}$
であるから $x\geqq 0$ で下に凸

$t$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$x$	$0$	$\nearrow$	$1$
$y$	$0$	⤴	$+\infty$

よって，この部分を原点対称したグラフとあわせて描けば良い（略）．