https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Rigaku_Jishin

2022.08.31記

[4] $a\gt 0$ なるとき $\displaystyle\int_{0}^{a}dx\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{f'(y)}{\sqrt{(a-x)(x-y)}}dy$ の價を出せ．

2024.12.30記
任意の $f$ について求めよ，という話になるので最終的に $\int f'(y) dy$ が剥き出しになるだろうと考えると，積分順序の交換が肝だとわかる．

[解答]
求める積分の値を $I$ とおく．
$I=\displaystyle\int_{x=0}^{x=a}\left(\displaystyle\int_{y=0}^{y=x}\dfrac{f'(y)}{\sqrt{(a-x)(x-y)}}dy\right)dx$ $=\displaystyle\int_{y=0}^{y=a}\left(\displaystyle\int_{x=y}^{x=a}\dfrac{f'(y)}{\sqrt{(a-x)(x-y)}}dx\right)dy$ $=\displaystyle\int_{y=0}^{y=a}f'(y)\left(\displaystyle\int_{x=y}^{x=a}\dfrac{1}{\sqrt{(a-x)(x-y)}}dx\right)dy$
である．積分区間において $0\leqq y\leqq a$ に注意して $x=\dfrac{a+y}{2}+\dfrac{a-y}{2}\sin\theta$ と置換すると
$I=\displaystyle\int_{y=0}^{y=a}f'(y)\left(\displaystyle\int_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/2} \dfrac{\dfrac{a-y}{2}\cos\theta}{\dfrac{a-y}{2}\cos\theta}d\theta\right)dy$ $=\displaystyle\int_{y=0}^{y=a}f'(y)\left(\displaystyle\int_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/2} d\theta\right)dy$ $=\pi \displaystyle\int_{y=0}^{y=a}f'(y)dy$ $=\pi\{f(a)-f(0)\}$
となる．