https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Rigaku_Jishin

2022.08.31記

[2] $\sqrt[5]{250}$ の價を小數點以下6位まで計算せよ．

本問のテーマ

一般二項定理

2024.12.29記
1925年(大正14年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
参照．

[解答]
$\sqrt[5]{250}=\sqrt[5]{243+7}=3\left(1+\dfrac{7}{3^5}\right)^{1/5}$
である．ここで $x=\dfrac{7}{3^5}$ とおくと
$\sqrt[5]{250}=3(1+x)^{1/5}$ $=3\left(1+\dfrac{1}{5}x-\dfrac{2}{25}x^2+\dfrac{6}{125} x^3- \dfrac{21}{625}(1+c)^{-19/5} x^4\right)$
なる $0\lt c\lt x$ が存在する．この誤差項
$R=3\times \dfrac{21}{625}(1+c)^{-19/5} x^4$
について
$|R|\lt 3\times \dfrac{21}{625}\cdot 1\cdot \dfrac{7^4}{3^{20}}$ $=\dfrac{7^5}{3^{18}\cdot 5^4}$ $\lt \dfrac{7\cdot 50^2}{80^4\cdot 3^{2}\cdot 5^4}$ $=\dfrac{7}{2^{10}\cdot 3^{2}\cdot 10^4}$ $\lt \dfrac{7}{10^{3}\cdot 3^{2}\cdot 10^4}$ $=7.\dot{7}\times 10^{-8}\lt 10^{-7}$
が成立する．

ここで
$3\left(1+\dfrac{1}{5}x-\dfrac{2}{25}x^2+\dfrac{6}{125} x^3\right)$ $=3\left(1+\dfrac{7}{5\cdot 3^5}-\dfrac{2\cdot 7^2}{25\cdot 3^{10}}+\dfrac{6\cdot 7^3}{125\cdot 3^{15}} \right)$ $=3+\dfrac{10333575-119070+2058}{597871125}$ $=3+\dfrac{10216563}{597871125}$ $=3.017088236\cdots$
であるから，
$=3.0170881 \lt \sqrt[5]{250} \lt 3.0170884$
となり，求める値は $3.017088$ である．

$\sqrt[5]{250}=3.0170881682\cdots$ である．