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1926-01-06

1926年(大正15年)東京帝國大學理學部地震學科-數學[1]

2022.08.31記

[1] $x_0=1$ ， $x_n=1+\dfrac{1}{x_{n-1}+1}$ ， $n=1，2，3，………$ なるとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ の値を求めよ．

2024.12.29記
$\alpha=1+\dfrac{1}{\alpha+1}$ ， $\alpha\geqq 0$ から $\alpha=\sqrt{2}$ が得られる．

[解答]
条件から任意の非負整数 $n$ に対して $x_n\gt 0$ である．
$|x_n-\sqrt{2}|=\left|\dfrac{(1-\sqrt{2})x_{n-1}+2-\sqrt{2}}{x_{n-1}+1}\right|$ $=(\sqrt{2}-1)\cdot \dfrac{|x_{n-1}-\sqrt{2}|}{x_{n-1}+1}$ $\lt (\sqrt{2}-1)\cdot |x_{n-1}-\sqrt{2}|$ $\lt (\sqrt{2}-1)^{n}\cdot |x_{0}-\sqrt{2}|$ $= (\sqrt{2}-1)^{n+1}$
により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{2}$
となる．

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