https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Rigaku_Chiri

2022.08.31記

[2] 方程式 $x^2+xy+y^2=1$ にて表されたる函數 $x$ の極大値及び極小値を求め且つ曲線 $x^2+xy+y^2=1$ にて圍まれたる面積を計算せよ．

2024.12.30記
文献によっては「方程式 $x^2+xy+y^2=1$ にて表されたる函數の極大値及び極小値を求め」とあったが，ここでは「方程式 $x^2+xy+y^2=1$ にて表されたる函數 $x$ の極大値及び極小値を求め」を採用する．

[解答]
$y$ の2次方程式 $y^2+xy+(x^2-1)=0$ 判別式が
$x^2-4(x^2-1)=4-3x^2\geqq 0$
を満たすので， $-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\leqq x\leqq \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ となり，判別式が 0 となるときは $y=-\dfrac{x}{2}$ であるから，
$y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき極小値 $-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ，
$y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき極大値 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
をとる．

函数は $y=\dfrac{-x\pm\sqrt{4-3x^2}}{2}$ となることから，求める面積は
$\displaystyle\int_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}\left\{\dfrac{-x+\sqrt{4-3x^2}}{2}-\dfrac{-x-\sqrt{4-3x^2}}{2}\right\}\,dx$ $=\displaystyle\int_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}} \sqrt{4-3x^2}\,dx$
となり，これは $\dfrac{y^2}{2^2}+\dfrac{x^2}{(2/\sqrt{3})^2}=1$ で囲まれる面積と等しく， $\pi\cdot 2\cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}}$ となる．

[別解]
$2xdx+xdy+ydx+2ydy=0$ から $\dfrac{dx}{dy}=-\dfrac{x+2y}{2x+y}$ となるので
$x+2y=0$ と $x^2+xy+y^2=1$ を連立させて
$(x，y)=\left(\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}，\mp\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ （複号同順）
を得る．
$\dfrac{d^2x}{dy^2}=-\dfrac{\left(\dfrac{dx}{dy}+2\right)(2x+y)-(x+2y)\left(2\dfrac{dx}{dy}+1\right)}{(2x+y)^2}$ $=-\dfrac{3x-3y\dfrac{dx}{dy}}{(2x+y)^2}$
であるから，この2点における
$\dfrac{d^2x}{dy^2}$ $=-\dfrac{3x}{(2x+y)^2}$
の符号を考えて
$y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき極小値 $-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ，
$y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき極大値 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
をとる．

$x^2+xy+y^2=1$ は $\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2=1$ と変形できるので，線型変換 $X=x+\dfrac{y}{2}$ ， $Y=\dfrac{\sqrt{3}y}{2}$ を行うと面積が $\pi$ になるので，もとの面積は $\dfrac{\pi}{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}}$ となる．