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1926年(大正15年)東京帝國大學理學部地理學科-數學[1]

2022.08.31記

[1] 圓の弧 {\rm AB} に對する弦の長さを a とし弧 {\rm AB} の半に等しき弧に對する弦の長さを b とするときは弧 {\rm AB} の長さは大略 \dfrac{8b-a}{3} に等しきことを證せ．

2024.12.30記

[解答]
円の中心を \rm O，半径を r とし，\angle\rm AOB=2\theta とおくと
\dfrac{a}{2r}=\sin\theta=\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3+o(\theta^5)，
\dfrac{b}{2r}=\sin\theta=\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{8}\theta^3+o(\theta^5)，
であるから，
\dfrac{8b-a}{2r}=3\theta+o(\theta^5)，
となり，
\dfrac{8b-a}{3}=2r\theta+o(\theta^5)=(弧\mbox{AB}の長さ)+o(\theta^5)
となる．



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