https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Ributu

2022.08.31記

[2] $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ なるとき $x$ 及び $y$ を獨立變數とせる $\dfrac{\partial\theta}{\partial x}$ と $r$ 及び $\theta$ を獨立變數とせる $\dfrac{\partial x}{\partial\theta}$ との間に如何なる關係あるか．

2024.12.19記

[解答]
$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}$
の逆行列は
$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial x} & \dfrac{\partial r}{\partial y} \\ \dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial \theta}{\partial y} \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{r} \begin{pmatrix} r\cos\theta & r\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
であるから，
$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta$ ， $\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=-\dfrac{\sin\theta}{r}$
となり，
$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=r^2\dfrac{\partial \theta}{\partial x}$
となる．

[別解]
$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta$ である．
$\theta = \mbox{Arctan}\,\dfrac{y}{x}$ により
$\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=-\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\cdot \dfrac{y}{x^2}=-\dfrac{y}{r^2}=-\dfrac{\sin\theta}{r}$
であるから，
$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=r^2\dfrac{\partial \theta}{\partial x}$
となる．