https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Nougaku

2022.08.31記

[3] 橢圓の面積は $\pi ab$ なることを證明せよ．

2024.12.30記

[3] 橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a，b\gt 0$ ）の面積は $\pi ab$ なることを證明せよ．

[解答]
楕円を $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{a}$ ， $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{b}$ すると面積が $\pi$ の単位円に変換されるので，もとの楕円の面積は $\pi ab$ である．

[解答]
楕円の面積は $S=4\displaystyle\int_0^a b \sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\, dx$ であり， $x=a\sin\theta$ と置換すると
$S=4ab\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2\theta}\, \cos\theta\,d\theta$ $=4ab\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta$
となる．
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\,d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{2} \,d\theta$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/2} \,d\theta$ $=\dfrac{\pi}{4}$
であるから，
$S=4ab\cdot\dfrac{\pi}{4}=\pi ab$ である．