1926年(大正15年)東京帝國大學農學部-數學[2]

2022.08.31記

[2] 抛物線の頂點に於ける曲率半徑を求めよ．

2024.12.30記
$y=f(x)$ の曲率半径は $\dfrac{(1+(y')^2)^{3/2}}{|y''|}$ である．

[解答]
$y=ax^2$ の $x=0$ における曲率半径は $\dfrac{(1+0^2)^{3/2}}{|2a|}=\dfrac{1}{2|a|}$ である．

[解答]
$y=ax^2$ の $x=t$ における法線は $y=-\dfrac{1}{2at}(x-t)+at^2$ で，これと $y$ 軸の交点の $y$ 座標 $at^2+\dfrac{1}{2a}$ の $t\to 0$ の極限は曲率中心となり， $\left(0,\dfrac{1}{2a}\right)$ である．

よって曲率半径は $\dfrac{1}{2|a|}$ である．

$y^2=4px$ なら $2|p|$ である．

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