https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Kougaku

2022.08.31記

[3] 長軸の延長が原點を通過する楕圓が $x$ 軸を軸として廻轉するときに生ずる曲面の方程式を求む．

2024.12.30記
回転体の曲面の方程式は $y$ を $\sqrt{y^2+z^2}$ （状況によっては $-\sqrt{y^2+z^2}$ ）に置き換えれば良い．

本問において，楕円を $x$ 軸方向に平行移動するとき， $x$ を $x-\alpha$ に置き換えるだけなので，一般に位置にある楕円の長軸の延長が原点を通過するという条件は本質的に無意味である．

[解答]
楕円 $\dfrac{(x-k)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $0\lt b\lt a$ ）を原点中心に回転させた楕円は
$\dfrac{(x\cos\theta+y\sin\theta-k)^2}{a^2}+\dfrac{(x\sin\theta-y\cos\theta)^2}{b^2}=1$
となり，整理して
$\dfrac{(x\cos\theta-k)^2+2y(x\cos\theta-k)\sin\theta+y^2\sin^2\theta}{a^2}+ \dfrac{x^2\sin^2\theta-2yx\cos\theta\sin\theta+y^2\cos^2\theta}{b^2}=1$
を経由して
$\dfrac{(x\cos\theta-k)^2+y^2\sin^2\theta}{a^2}+ \dfrac{x^2\sin^2\theta+y^2\cos^2\theta}{b^2}-1$ $=\left\{\dfrac{2x\cos\theta\sin\theta}{b^2}-\dfrac{2(x\cos\theta-k)^2\sin\theta}{a^2}\right\}y$
となる．よって求める曲面の方程式は
$\left\{\dfrac{(x\cos\theta-k)^2+(y^2+z^2)\sin^2\theta}{a^2}+ \dfrac{x^2\sin^2\theta+(y^2+z^2)\cos^2\theta}{b^2}-1\right\}^2$ $=\left\{\dfrac{2x\cos\theta\sin\theta}{b^2}-\dfrac{2(x\cos\theta-k)^2\sin\theta}{a^2}\right\}^2(y^2+z^2)$
となる．

トーラス（円環面）が一般に4次曲面 $(x^2+y^2+z^2-r^2)^2=4a^2(y^2+z^2)$ となるように，本問の結果も4次曲面となる．

おそらく本問は単に

[解答]
楕円 $\dfrac{(x-k)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $0\lt b\lt a$ ）を $x$ 軸について回転させてできる曲面の方程式は
$\dfrac{(x-k)^2}{a^2}+\dfrac{y^2+z^2}{b^2}=1$
となる．

もしくは

[解答]
楕円 $\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1$ （ $0\lt a\lt b$ ），つまり
$\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{y^2+k^2}{b^2}-1=\dfrac{2ky}{b^2}$
を $x$ 軸について回転させてできる曲面の方程式は
$\left(\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{y^2+z^2+k^2}{b^2}-1\right)^2=\dfrac{4k^2}{b^4}(y^2+z^2)$
となる．

程度ではないかと思われる．

ちなみに4次曲面の式が $(2次式)^2=0$ となるときが，回転楕円体となるときである．