https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Kougaku

2022.08.31記

[2] $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^4}{c^4}=1$ にて圍まるゝ體積を求む．

2024.12.30記

[解答]
$a，b，c\gt 0$ として一般性を失わない．

$X=\dfrac{x}{a}$ ， $Y=\dfrac{y}{b}$ ， $Z=\dfrac{z}{c}$ という変換によって体積は $\dfrac{1}{abc}$ 倍になり，立体は　 $X^2+Y^2+Z^4=1$ で囲まれる体積となる．

この立体の体積は $XZ$ 平面の曲線 $X=\sqrt{1-Z^4}$ （ $0\leqq Z\leqq 1$ ）， $X$ 軸， $Z$ 軸で囲まれる部分を $Z$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積の2倍となるので，その体積は
$2\displaystyle\int_{0}^{1} \pi (1-Z^4)\, dZ$ $=2\pi \left(1-\dfrac{1}{5}\right)$ $=\dfrac{8}{5}\pi$
となる．よって求める体積は $\dfrac{8}{5}\pi abc$ （問題文の即せば $\dfrac{8}{5}\pi |abc|$ ）である．

バームクーヘン積分を用いると
$Z=(1-X^2)^{1/4}$ と $X$ 軸で囲まれる部分を $Z$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積の2倍を考えるので，
$2\displaystyle\int_{0}^{1} 2\pi X (1-X^2)^{1/4}\, dX$ （ $X^2=u$ ）
$=2\pi \displaystyle\int_{0}^{1} (1-u)^{1/4}\, du$ $=\dfrac{8}{5}\pi$
となる．