https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Kougaku

2022.08.31記

[1] 次の式の $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ．

a． $y=a^x\{\sin^{-1}x+\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}\}$

b． $y=\log(x-1)-\dfrac{2x-1}{(x-1)^2}$

2024.12.30記
a．当時の解答に
(×) $\dfrac{dy}{dx}=(\log a) a^x\{\sin^{-1}x+\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}\}$
（ $x\gt 0$ なら正しいことは正しい）というものがあった．これは
$(\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}\})'$ $=\dfrac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ $=-\dfrac{x}{|x|}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
を
(×) $(\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}\})'$ $=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
（ $x\gt 0$ なら正しい）としてしまったためで，これは間違いである．

[解答]
a． $\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}=\left\{\begin{array}{ll} \sin^{-1}x+\dfrac{\pi}{2} & (x\leqq 0) \\ -\sin^{-1}x+\dfrac{\pi}{2} & (x\geqq 0) \end{array}\right.$
であるから，
$y=\left\{\begin{array}{ll} a^x\left\{2\sin^{-1}x+\dfrac{\pi}{2}\right\} & (x\leqq 0) \\ \dfrac{\pi}{2} a^x & (x\geqq 0) \end{array}\right.$
である．

(i) $x\gt 0$ のとき：
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\pi}{2}(\log a) a^x$

(ii) $x=0$ のとき：微分不可能

(iii) $x\lt 0$ のとき
$\dfrac{dy}{dx}=(\log a) a^x\left\{2\sin^{-1}x+\dfrac{\pi}{2}\right\}+\dfrac{2a^x}{\sqrt{1-x^2}}$

b． $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2(x-1)^2-2(2x-1)(x-1)}{(x-1)^4}$ $=\dfrac{(x-1)^2}{(x-1)^3}-\dfrac{-2x}{(x-1)^3}$ $=\dfrac{x^2+1}{(x-1)^3}$