https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1926/Igaku

2022.08.31記

[1] $y=Ae^{-Bt}\sin(Ct+D)$ ニ於テ $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ハ常數ニシテ $B=\dfrac{R}{2L}$ ， $C=\sqrt{\dfrac{1}{KL}-\dfrac{R^2}{4L^2}}$ ナルトキ $L\dfrac{d^2y}{dt^2}+R\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{K}y$ ノ値ヲ求ム．

本問のテーマ

RLC回路の微分方程式

2024.12.29記
$y$ は電流， $L$ はコイルのリアクタンス， $R$ は電気抵抗， $K$ （今は $C$ で表す）でコンデンサの電気容量を表す．微分方程式 $L\dfrac{d^2y}{dt^2}+R\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{K}y=0$ （が背景にあるので本問の答は $0$ であることがわかる）の解は
$\lambda^2+\dfrac{R}{L}\lambda+\dfrac{1}{KL}=0$
の2解の状態によって異なる振舞をする．

(i) 2つの異なる実数解をもつときは，電流は指数関数的に減衰する．

(ii) 2つの異なる実数解をもつときは，電流は最も早く減衰し，臨海減衰と呼ばれる．

(iii) 2つの異なる虚数解をもつときは，電流は減衰振動する．

本問の場合， $A，B，C，D$ が実数であるとすると，判別式
$\dfrac{R^2}{L^2}-\dfrac{4}{KL}=-4C^2\leqq 0$
であるから，2次方程式は重解または2つの虚数解をもつことになる．

2024.12.29記

[解答]
$y=Ae^{-Bt}\sin(Ct+D)$ ，
$\dfrac{dy}{dt}=Ae^{-Bt}\{-B\sin(Ct+D)+C\cos(Ct+D)\}$ ，
$\dfrac{d^2y}{dt^2}=Ae^{-Bt}\{(B^2-C^2)\sin(Ct+D)-2BC\cos(Ct+D)\}$
を
$L\dfrac{d^2y}{dt^2}+R\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{K}y$
に代入すると $0$ となる（計算略）．

[大人の解答]
$A，B，C，D$ は実数とする． $y=Ae^{-Bt}\sin(Ct+D)$ が定数係数の線型2階微分方程式の解となるとき，その特性方程式は $-B\pm Ci$ を解に持つ．つまり特性方程式は
$(\lambda+B)^2+C^2=0$
であり，条件より
$\lambda^2+2B\lambda+B^2+C^2$
$=\lambda^2+\dfrac{R}{L}\lambda+\dfrac{R^2}{4L^2}+\dfrac{1}{KL}-\dfrac{R^2}{4L^2}$
$=\lambda^2+\dfrac{R}{L}\lambda+\dfrac{1}{KL}=0$
となるので，
$L\dfrac{d^2y}{dt^2}+R\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{K}y=0$
となる．