https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1924/Rigaku

[3] $f(x,\sqrt{x^2-1})$ ガ $x$ ト $\sqrt{x^2-1}$ トノ有理函數ナルトキ $\displaystyle\int f(x,\sqrt{x^2-1})\,dx$ ヲ索ムル方法ヲ示セ．

2022.08.07記
$y=\sqrt{x^2-1}$ とおくと， $x^2-y^2=1$ となることから，この双曲線のパラメータ表示
$(x,y)=\left(\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right),\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)\right)$
を利用して，
$x=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)$
と置換する．

[解答]
$x=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)$ と置換すると，
$dx=\dfrac{t^2-1}{2t^2}\, dt$
であるから，
$\displaystyle\int f\left(\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right), \dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)\right)\cdot\dfrac{t^2-1}{2t^2}\, dt$
と $t$ の有理関数の原始関数を求める問題に帰着することができ，この原始関数は求めることが可能であり，求めた後に
$t=x+\sqrt{x^2-1}$ を代入して $x$ の関数に戻せば良い．

有理関数 $\dfrac{f(t)}{g(t)}$ （ $f,g$ は多項式）の原始関数を求めるには，
$f(t)=g(t)Q(t)+R(t)$ と整除して，
$\dfrac{f(t)}{g(t)}=Q(t)+\dfrac{R(t)}{g(t)}$
と変形し， $Q(t)$ は多項式だから簡単に積分でき， $\dfrac{R(t)}{g(t)}$ は部分分数分解によって積分可能な形になる．