https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1924/Kougaku

[4] 一邊長さ $a$ なる正 $2n$ 邊形あり，互いに平行なる二邊の中心を結ぶ直線を軸とし， $a$ を直徑とする $n$ 個の圓筒に共通なる部分の體積を求む．

2022.08.08記
2本の円柱の場合と同じく，カバリエリの原理を使う．

[解答]
$n$ 本の円柱の軸に平行な平面での共通部分の切り口は正 $2n$ 角形であり，その面積は，内接円の面積の常に $\dfrac{2n\tan\dfrac{\pi}{2n}}{\pi}$ 倍であるから，カバリエリの原理から，求める体積は球の体積の $\dfrac{2n\tan\dfrac{\pi}{2n}}{\pi}$ 倍の $\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3\cdot \dfrac{2n\tan\dfrac{\pi}{2n}}{\pi}$ $=\dfrac{na^3}{3}\tan\dfrac{\pi}{2n}$