https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1923/Kougaku

[2] $z=f(x+ky)$ ナル時ハ $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{k}\,\dfrac{\partial z}{\partial y}$ ナルコトヲ證明シ，併セテ其ノ幾何學的意義ヲ説明セヨ．但シ $k$ は常數トス．

2022.08.15記

[解答]
$k\neq 0$ とする．

$u=x+ky$ とおくと
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}$ $=\dfrac{\partial f}{\partial u}$ ，
$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}$ $=\dfrac{\partial f}{\partial u}\cdot k$
であるから，
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{k}\,\dfrac{\partial z}{\partial y}$
が成立する．

この幾何学的意味は，曲面 $z=f(x+ky)$ に対して
$dz=\dfrac{\partial f}{\partial u}(dx+kdy)$
となることから，接平面における $x$ 方向の傾きは $y$ 方向の傾きの $\dfrac{1}{k}$ ということを表しており，また曲面 $z=f(x+ky)$ の等高線( $dz=0$ )は $\begin{pmatrix} k \\ -1 \end{pmatrix}$ 方向であるということを意味している．