https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1922/Rigaku

[3] 同一直角坐標軸ヲ用ヰテ方程式 $y=x-\dfrac{x^2}{2}$ ， $y=\log(1+x)$ ニテ表ハサレタル曲線ヲ畫キ且此二ツノ曲線ト $x=2$ ナル直線ニテ圍マレタル面積ヲ索メヨ．

2022.08.09記
$\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^3)$ であるから，この2曲線は $x=0$ で接することがわかる．

[解答]
$y=x-\dfrac{x^2}{2}$ は $x$ 切片が $0,2$ の上に凸な放物線であり， $y=\log(1+x)$ は対数関数 $y=\log x$ を $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものだから漸近線が $x=-1$ である．

ここで $f(x)=\log(1+x)-\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)$ とおくと
$f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1+x=\dfrac{x^2}{1+x}\gt 0$ （ $x\gt -1$ ）
であり
$\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^3)$ であるから，この2曲線は $x=0$ で接することに注意すると，2つのグラフは

のようになる．よって求める面積は
$\displaystyle\int_0^2\left\{\log(1+x)-\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\right\}\,dx$ $=\Bigl[ (1+x)\log(1+x)-(1+x)-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}\Bigr]_0^2$ $=3\log 3-\dfrac{8}{3}$