https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1921/Ributu

[3] Find the direction cosines of the straight line defined by $a_1x+b_1y+c_1z=d_1, \quad a_2x+b_2y+c_2z=d_2$ .

[3] $a_1x+b_1y+c_1z=d_1, \quad a_2x+b_2y+c_2z=d_2$ から定まる直線の方向余弦を定めよ．

2024.12.29記
方向余弦とは，直線の方向ベクトルと $x，y，z$ 軸正方向とのなす角度の余弦であり，方向ベクトルを単位ベクトルで表現したものの各成分となる．

[解答]
直線の方向ベクトルは
$(b_1c_2-b_2c_1，c_1a_2-c_2a_1，a_1b_2-a_2b_2)$
であるから，方向余弦は
$\dfrac{b_1c_2-b_2c_1}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2+(c_1a_2-c_2a_1)^2+(a_1b_2-a_2b_2)^2}}$ ，
$\dfrac{c_1a_2-c_2a_1}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2+(c_1a_2-c_2a_1)^2+(a_1b_2-a_2b_2)^2}}$ ，
$\dfrac{a_1b_2-a_2b_1}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2+(c_1a_2-c_2a_1)^2+(a_1b_2-a_2b_2)^2}}$
となる．

直線の単位方向ベクトルは(逆向きとあわせて)2つあるので
$-\dfrac{b_1c_2-b_2c_1}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2+(c_1a_2-c_2a_1)^2+(a_1b_2-a_2b_2)^2}}$ ，
$-\dfrac{c_1a_2-c_2a_1}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2+(c_1a_2-c_2a_1)^2+(a_1b_2-a_2b_2)^2}}$ ，
$-\dfrac{a_1b_2-a_2b_1}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2+(c_1a_2-c_2a_1)^2+(a_1b_2-a_2b_2)^2}}$
としても良い．