https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1921/Ributu

[2] Shew that the function $u=A\dfrac{\sin kr}{r}$ satisfies the differential equation
$\dfrac{\delta^2 u}{\delta x^2}+\dfrac{\delta^2 u}{\delta y^2}+\dfrac{\delta^2 u}{\delta z^2}+k^2 u=0$ ,
where $k$ and $A$ are constants, and $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

[2] 関数 $u=A\dfrac{\sin kr}{r}$ が微分方程式
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}+k^2 u=0$
を満たすことを示せ．ここで $k$ 及び $A$ は定数であり， $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ である．

本問のテーマ

ヘルムホルツ（Helmholtz）方程式

2024.12.29記
合成関数の高階微分は
合成関数の高階微分(Faà di Bruno の公式) - 球面倶楽部零八式 mark II
を参照のこと．ここでは2階微分なので
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $=\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}\cdot\left(\dfrac{\partial r}{\partial x}\right)^2$ $+\dfrac{\partial u}{\partial r}\cdot\dfrac{\partial^2 r}{\partial x^2}$
を用いる．

[解答]
$\dfrac{\partial u}{\partial r}=A \dfrac{kr\cos kr-\sin kr}{r^2}$ ，
$\dfrac{\partial u^2}{\partial r^2}=A\dfrac{-r^2k^2 \sin kr-2kr\cos kr+2\sin kr}{r^3}$
であり，
$\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{x}{r}$ ，
$\dfrac{\partial^2 r}{\partial x^2}=\dfrac{1}{r}-\dfrac{x}{r^2}\cdot\dfrac{x}{r}$ $=\dfrac{r^2-x^2}{r^3}$
であるから，
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $=\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}\cdot\left(\dfrac{\partial r}{\partial x}\right)^2$ $+\dfrac{\partial u}{\partial r}\cdot\dfrac{\partial^2 r}{\partial x^2}$
$=A\dfrac{-r^2k^2 \sin kr-2kr\cos kr+2\sin kr}{r^3}\cdot \dfrac{x^2}{r^2}$ $+A \dfrac{kr\cos kr-\sin kr}{r^2}\cdot\dfrac{r^2-x^2}{r^3}$
$=A\dfrac{(-r^2k^2 \sin kr-3kr\cos kr+3\sin kr)x^2+r^2(kr\cos kr-\sin kr)}{r^5}$
となり，
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$
$=A\dfrac{(-r^2k^2 \sin kr-3kr\cos kr+3\sin kr)r^2+3r^2(kr\cos kr-\sin kr)}{r^5}$
$=-A\dfrac{k^2 \sin kr}{r}=-k^2 u$
となる．