https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1921/Ributu

[1] Calculate the value of $\log_e 1.5$ to $3$ decimal places.

[1] $\log_e 1.5$ の値を小数第 $3$ 位まで求めよ．

2024.12.29記
昨年の問題
1920年(大正9年)東京帝國大學理學部物理科-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
をより簡単にしたもの．

[解答]
$u=\dfrac{1}{5}$ とおくと
$\log_e 1.5=\log_e \dfrac{1+u}{1-u}=\log_e(1+u)-\log_e(1-u)$
である． $\log_e (1\pm u)$ のマクローリン展開の双方合わせた収束半径は $-1\lt u\lt 1$ で，
$\log_e(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{u^4}{4}+\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{u^6}{6(1+\theta u)^6}$ （ $0\lt\theta\lt 1$ ），
$\log_e(1-u)=-u-\dfrac{u^2}{2}-\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{u^4}{4}+\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{u^6}{6(1-\varphi u)^6}$ （ $0\lt\varphi\lt 1$ ）
と剰余項を用いて表すことができる．ここで剰余項は
$-\dfrac{u^6}{6}\lt -\dfrac{u^6}{6(1+\theta u)^6} \lt -\dfrac{u^6}{6(1+u)^6}$ ，
$-\dfrac{u^6}{6(1-u)^6}\lt -\dfrac{u^6}{6(1-\varphi u)^6} \lt -\dfrac{u^6}{6}$
と評価できるので，
$-\dfrac{u^6}{6}-\dfrac{u^6}{6(1-u)^6}$ $\lt \log_e\dfrac{a+x}{a-x}-\left(2u +\dfrac{2}{3}u^3+\dfrac{2}{5}u^5\right)$ $\lt -\dfrac{u^6}{6(1+u)^6}-\dfrac{u^6}{6}$ ，
が成立し，
$\left| \log_e\dfrac{1+u}{1-u}-\left(2u +\dfrac{2}{3}u^3+\dfrac{2}{5}u^5\right)\right|$ $\lt \dfrac{u^6}{6}\left\{1+\dfrac{1}{(1-u)^6}\right\}$
が成立する． $u=\dfrac{1}{5}$ を代入して
$\left| \log_e 1.5-\left(\dfrac{2}{5} +\dfrac{2}{3\cdot 5^3}+\dfrac{2}{5\cdot 5^5}\right)\right|$ $\lt \dfrac{1}{6\cdot 5^6}\cdot \dfrac{5^6 + 4^6}{5^6}\lt \dfrac{1}{6\cdot 5^6}\cdot 2=\dfrac{1}{46875}\lt \dfrac{1}{10000}=0.0001$
つまり
$\left| \log_e 1.5 -0.40546\cdots\right|\lt 0.0001$
となり，
$0.4053\lt \log_e 1.5 \lt 0.4056$
となる．よって求める答えは $0.405$ となる．

$\dfrac{2}{5} +\dfrac{2}{3\cdot 5^3}+\dfrac{2}{5\cdot 5^5}$ $=\dfrac{4}{10} +\dfrac{16}{3\cdot 10^3}+\dfrac{128}{10^6}$ の計算は
$0.4$
$0.005\dot{3}\cdots$
$0.000128$
を筆算すれば
$0.405461\dot{3}$
と求めることができる．