https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1921/Kougaku

[4] $f(x)$ ガ $x$ ニ關スル三次ノ有理整式ナルトキ
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\dfrac{b-a}{6}\Bigl\{f(a)+4f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)+f(b)\Bigr\}$
ナルコトヲ證明セヨ．

本問のテーマ

シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

2024.12.29記
シンプソンの公式（ケプラーの樽公式） - 球面倶楽部零八式 mark II

[解答]
$\dfrac{a+b}{2}=s$ ， $\dfrac{b-a}{2}=t$ とおき， $f(x)=a(x-s)^3+b(x-s)^2+c(x-s)+d$ とおけば，
$\displaystyle\int_a^b f(x) dx$ $=\displaystyle\int_{s-t}^{s+t} \{a(x-s)^3+b(x-s)^2+c(x-s)+d\} dx$ $=\displaystyle\int_{-t}^{t} \{aX^3+bX^2+cX+d\} dX$ $=\dfrac{2}{3}t^3+2d\cdot t$
であり，
$f(a)=f(s-t)=-at^3+bt^2-ct+d$ ，
$f(b)=f(s+t)=at^3+bt^2+ct+d$ ，
$f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)=f(s)=d$
だから
$\dfrac{b-a}{6}\{f(a)+4f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)+f(b)\}$ $=\dfrac{t}{3}\{2bt^2+6d\}$ $=\dfrac{2}{3}t^3+2d\cdot t$
となり，よって題意は成立する．