https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1921/Kougaku

[2] 一定ノ容積ヲ有スル直圓錐ヲ作リ，其ノ曲面ノ面積ヲ最小ナラシメントス，圓錐ノ高サト其ノ底面ノ半徑トノ割合ヲ定メヨ．

2024.12.29記
円錐の表面積ではなく，曲面の面積と書いてあるので，円錐の側面積を最小にする問題と考えておこう．

[解答]
円錐の底面の半径，高さをそれぞれ $r，h$ とすると，体積 $V$ と側面積 $S$ は
$V=\dfrac{\pi}{3}r^2h$ ， $S=\pi r \sqrt{r^2+h^2}$
であるから，AM-GM 不等式により
$2S^2=2r^4\pi^2+\dfrac{18V^2}{r^2}$ $\geqq 3\sqrt[3]{2r^4\pi^2\cdot \dfrac{9V^2}{r^2}\cdot \dfrac{9V^2}{r^2}}$ $=9\sqrt[3]{6 \pi^2 V^4}$
（等号成立は $2r^4\pi^2=\dfrac{9V^2}{r^2}=r^2h^2 \pi^2$ ，つまり $2r^2=h^2$ で成立）
となり， $r=\sqrt[6]{\dfrac{9V^2}{2\pi^2}}=\dfrac{h}{\sqrt{2}}$ のときに最小となる．

母線の長さでも大差ない．

[解答]
円錐の底面の半径，母線の長さをそれぞれ $r，l$ とすると，体積 $V$ と側面積 $S$ は
$V=\dfrac{\pi}{3}r^2\sqrt{l^2-r^2}$ ， $S=\pi r l$
であるから，AM-GM 不等式により
$2S^2=2\pi^2 r^4+\dfrac{18V^2}{r^2}$ $\geqq 3\sqrt[3]{2r^4\pi^2\cdot \dfrac{9V^2}{r^2}\cdot \dfrac{9V^2}{r^2}}$ $=9\sqrt[3]{6 \pi^2 V^4}$
（等号成立は $2r^4\pi^2=\dfrac{9V^2}{r^2}=r^2\sqrt{l^2-r^2} \pi^2$ ，つまり $3r^2=l^2$ で成立）
となり， $r=\dfrac{l}{\sqrt{3}}=\dfrac{h}{\sqrt{2}}$ のときに最小となる．

表面積として考えた場合は，そのまま考えると少し面倒なので双対な問題を考える．

[解答]
円錐の体積を $V$ ，表面積を $S$ とすると， $\dfrac{S^3}{V^2}$ が最小となるときを求めれば良く，それは $\dfrac{V^2}{S^3}$ が最大となるときであるから，表面積が一定のときの体積の最大値を考えれば良い．

円錐の底面の半径，母線の長さをそれぞれ $r，l$ とすると，体積 $V$ と表面積 $S$ は
$V=\dfrac{\pi}{3}r^2\sqrt{l^2-r^2}$ ， $S=\pi r(l+r)$
であるから， $\dfrac{S}{\pi}=T$ とおくと $l=\dfrac{T-r^2}{r}$ であるから，
$V=\dfrac{\pi}{3}r^2\sqrt{\left(\dfrac{T-r^2}{r}\right)^2-r^2}$
$=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{T^2r^2-2Tr^4}$
となる．ここで $R=r^2$ とおくと
$V=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{2TR\left(\dfrac{T}{2}-R\right)}$
は $R=\dfrac{T}{4}$ のときに最大となる．このとき
$l=3r$
となるので円錐の高さを $h$ とおくと $h=2\sqrt{2} r$ となる．

双対でなく素直に考えると
$S=\pi r^2+\dfrac{\sqrt{\pi^2 r^6+9V^2}}{r}$ $=\pi R+\sqrt{\pi^2 R^2+\dfrac{9V^2}{R}}$
の最小値を求めることになるが，少し面倒となる．
（ $S$ が一定とき， $V$ は $R$ の2次関数となるが， $V$ が一定のとき， $S$ は2次方程式の解の公式から導かれる $R$ の複雑な関数となる）．

$\dfrac{r}{l}=k$ （ $0\lt k\lt 1$ ）とおくと
$\dfrac{S^3}{9\pi V^2}=\dfrac{(1+k)^2}{k(1-k)}$
となり， $k=\dfrac{1}{3}$ で最小となる，としても良いかな．

[うまい解答]
円錐の体積を $V$ ，側面積を $S$ とすると，相似な図形に対して $\dfrac{S^3}{V^2}$ は一定値となるので，体積一定のときの側面積が最小になる問題と， $\dfrac{S^3}{V^2}$ が最小になる場合は本質的に同じ問題である．

円錐の底面の半径，母線の長さをそれぞれ $r，l$ とすると，体積 $V$ と側面積 $S$ は
$V=\dfrac{\pi}{3}r^2\sqrt{l^2-r^2}$ ， $S=\pi r l$
であるから，
$\dfrac{r}{l}=k$ （ $0\lt k\lt 1$ ）とおくと
$\dfrac{S^3}{9\pi V^2}=\dfrac{1}{k(1-k^2)}$
が最小となるのは，
$k(1-k^2)$ が最大となるときで， $k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき．

このとき円錐の高さ $h$ は $h=\sqrt{2}r$ となる．

結局，比を考えることにより，表面積一定のときの体積の最大値に帰着していることがわかる．