https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1920/Ributu

[3] $a=10$ cm， $x=2$ cmナルトキ $\log_e\dfrac{a+x}{a-x}$ ノ値ヲ有効數字（significant figures）五位マデ計算セヨ．

2024.12.26記

[解答]
$\dfrac{x}{a}=u$ とおくと
$\log_e\dfrac{a+x}{a-x}=\log_e(1+u)-\log_e(1-u)$
である． $\log_e (1\pm u)$ のマクローリン展開の双方合わせた収束半径は $-1\lt u\lt 1$ で，
$\log_e(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{u^4}{4}+\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{u^6}{6}+\dfrac{u^7}{7}-\dfrac{u^8}{8(1+\theta u)^8}$ （ $0\lt\theta\lt 1$ ），
$\log_e(1-u)=-u-\dfrac{u^2}{2}-\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{u^4}{4}+\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{u^6}{6}-\dfrac{u^7}{7}-\dfrac{u^8}{8(1-\varphi u)^8}$ （ $0\lt\varphi\lt 1$ ）
と剰余項を用いて表すことができる．ここで剰余項は
$-\dfrac{u^8}{8}\lt -\dfrac{u^8}{8(1+\theta u)^8} \lt -\dfrac{u^8}{8(1+u)^8}$ ，
$-\dfrac{u^8}{8(1-u)^8}\lt -\dfrac{u^8}{8(1-\varphi u)^8} \lt -\dfrac{u^8}{8}$
と評価できるので，
$-\dfrac{u^8}{8}-\dfrac{u^8}{8(1-u)^8}$ $\lt \log_e\dfrac{a+x}{a-x}-\left(2u +\dfrac{2}{3}u^3+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{2}{7}u^7\right)$ $\lt -\dfrac{u^8}{8(1+u)^8}-\dfrac{u^8}{8}$ ，
が成立し，
$\left| \log_e\dfrac{a+x}{a-x}-\left(2u +\dfrac{2}{3}u^3+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{2}{7}u^7\right)\right|$ $\lt \dfrac{u^8}{8}\left\{1+\dfrac{1}{(1-u)^8}\right\}$
が成立する． $u=\dfrac{1}{5}$ を代入して
$\left| \log_e\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{2}{5} +\dfrac{2}{3\cdot 5^3}+\dfrac{2}{5\cdot 5^5}+\dfrac{2}{7\cdot 5^7}\right)\right|$ $\lt \dfrac{1}{8\cdot 5^8}\cdot \dfrac{5^8 + 4^8}{5^8}\lt \dfrac{1}{1562500}\lt \dfrac{1}{1000000}=0.000001$
つまり
$\left| \log_e\dfrac{3}{2}-0.405464\cdots\right|\lt 0.000001$
となり，
$0.405463\lt \log_e\dfrac{3}{2}\lt 0.405466$
となる．よって求める答えは $0.40546$ となる．

$\dfrac{2}{5} +\dfrac{2}{3\cdot 5^3}+\dfrac{2}{5\cdot 5^5}+\dfrac{2}{7\cdot 5^7}$ $=\dfrac{4}{10} +\dfrac{16}{3\cdot 10^3}+\dfrac{128}{10^6}+\dfrac{256}{7\cdot 10^7}$ の計算は
$0.4$
$0.005\dot{3}\cdots$
$0.000128$
$0.0000036\dot{5}7142\dot{8}$
を筆算すれば
$0.4054649\dot{9}0476\dot{1}$
と求めることができる．