https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1920/Ributu

[2] $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ ナル關係ニ依ツテ $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}$ ヲ $r$ ， $\theta$ ヲ使ッテ書キ直セ．但運算ノ説明ヲ要ス．

本問のテーマ

2次元極座標のラプラシアン

2024.12.22記
多変数関数の合成関数の微分法
$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ において各 $x_i$ は $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ の微分可能な関数として $x_i(\mathbf{u})$ であるとする．
$z=f(\mathbf{x})=g(\mathbf{u})$
となるとき，
$dz=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i=\dfrac{\partial f}{\partial\mathbf{x}}d\mathbf{x}$ ，
$dx_k=\displaystyle\sum_{j=1}^m\dfrac{\partial x_i}{\partial u_j}dx_i=\dfrac{\partial x_k}{\partial\mathbf{u}}d\mathbf{u}$
により，
$dz=\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{x}}d\textbf{x}$ $=\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{x}}\left(\dfrac{\partial \textbf{x}}{\partial \textbf{u}}\right)d\textbf{u}$ $=\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{u}}d\textbf{u}$
が成立するので，
$\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{u}} =\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{x}}\left(\dfrac{\partial \textbf{x}}{\partial \textbf{u}}\right)$
が成立する．

[解答]
2次元極座標 $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ において，2次元回転行列 $R(\cdot)$ を用いて
$\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}$ $=R(\theta)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r \end{pmatrix}$
と表すことができ，その逆行列として
$\dfrac{\partial(r,\theta)}{\partial(x,y)}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r} \end{pmatrix}R(-\theta)$
と表すことができる．さて，
$\dfrac{\partial V_x}{\partial r}=V_{xx}\dfrac{\partial x}{\partial r}+V_{xy}\dfrac{\partial y}{\partial r}$
などにより
$\begin{pmatrix} V_{xr} & V_{x\theta} \\ V_{yr} & V_{y\theta} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} V_{xx} & V_{xy} \\ V_{yx} & V_{yy} \end{pmatrix} \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}$
が成立するので，
$\begin{pmatrix} V_{xx} & V_{xy} \\ V_{yx} & V_{yy} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} V_{xr} & V_{x\theta} \\ V_{yr} & V_{y\theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r}\end{pmatrix} R(-\theta)$
である．

一方，
$(V_x，V_y)=(V_r，V_{\theta})\dfrac{\partial(r,\theta)}{\partial(x,y)}$ $=(V_r，V_{\theta})\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r} \end{pmatrix}R(-\theta)$ $=\left(V_r，\dfrac{V_{\theta}}{r}\right)R(-\theta)$
により
$\begin{pmatrix} V_x \\ V_y \end{pmatrix}$ $=R(\theta) \begin{pmatrix} V_r \\ \dfrac{V_{\theta}}{r}\end{pmatrix}$
であるから
$\begin{pmatrix} V_{xr} \\ V_{yr} \end{pmatrix} =R(\theta) \begin{pmatrix} V_{rr} \\ -\dfrac{V_{\theta}}{r^2} \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} V_{x\theta} \\ V_{y\theta} \end{pmatrix}$ $=R(\theta+\pi/2) \begin{pmatrix} V_{r} \\ \dfrac{V_{\theta}}{r}\end{pmatrix}+R(\theta) \begin{pmatrix} V_{r\theta} \\ \dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}\\ \end{pmatrix}$ $=R(\theta) \begin{pmatrix} V_{r\theta}-\dfrac{V_{\theta}}{r} \\ V_{r}+\dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}\end{pmatrix}$
が成立する．以上から
$\begin{pmatrix} V_{xr} & V_{x\theta} \\ V_{yr} & V_{y\theta} \end{pmatrix}$ $=R(\theta) \begin{pmatrix} V_{rr} & V_{r\theta}-\dfrac{V_{\theta}}{r} \\ -\dfrac{V_{\theta}}{r^2} & V_{r}+\dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}\end{pmatrix}$
となり，
$\begin{pmatrix} V_{xx} & V_{xy} \\ V_{yx} & V_{yy} \end{pmatrix}$ $=R(\theta) \begin{pmatrix} V_{rr} & V_{r\theta}-\dfrac{V_{\theta}}{r} \\ -\dfrac{V_{\theta}}{r^2} & V_{r}+\dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r}\end{pmatrix} R(-\theta)$ $=R(\theta) \begin{pmatrix} V_{rr} & \dfrac{V_{r\theta}}{r}-\dfrac{V_{\theta}}{r^2} \\ -\dfrac{V_{\theta}}{r^2} & \dfrac{V_{r}}{r}+\dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}\end{pmatrix} R(-\theta)$
となる．よって
$\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}$ $=V_{xx} + V_{yy}$ $=\mbox{tr}\begin{pmatrix} V_{xx} & V_{xy} \\ V_{yx} & V_{yy} \end{pmatrix}$ $=\mbox{tr}\left\{R(\theta) \begin{pmatrix} V_{rr} & \dfrac{V_{r\theta}}{r}-\dfrac{V_{\theta}}{r^2} \\ -\dfrac{V_{\theta}}{r^2} & \dfrac{V_{r}}{r}+\dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}\end{pmatrix}R(-\theta)\right\}$ $=\mbox{tr} \begin{pmatrix} V_{rr} & \dfrac{V_{r\theta}}{r}-\dfrac{V_{\theta}}{r^2} \\ -\dfrac{V_{\theta}}{r^2} & \dfrac{V_{r}}{r}+\dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}\end{pmatrix}$ $=V_{rr}+\dfrac{V_{r}}{r}+\dfrac{V_{\theta\theta}}{r^2}$ $=\dfrac{\partial^2 V}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial r}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 V}{\partial {\theta}^2}$
となる．