https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1920/Kougaku

[4] $k\gt 1$ ナルトキ， $\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{3^k}+\cdots+\dfrac{1}{n^k}+\cdots$ ， $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^k}$ ハ何レモ有限ナルコトヲ示シ，且其ノ大キサヲ比較セヨ．

2024.12.21記

[解答]
$S_n=\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{3^k}+\cdots+\dfrac{1}{n^k}$ ， $I_n=\displaystyle\int_{1}^{n}\dfrac{dx}{x^k}$ とおく．

$\dfrac{1}{x^k}$ は単調減少であるから，
$\dfrac{1}{(n+1)^k}\lt \displaystyle\int_n^{n+1} \dfrac{dx}{x^k}$
が成立するので $n\geqq 2$ で
$\displaystyle\sum_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i^k} \lt \displaystyle\int_1^{n} \dfrac{dx}{x^k}$ ，
つまり
$S_{n}\lt I_n$
が成立する．
$I_n=\left[ \dfrac{1}{1-k} x^{1-k} \right]_1^n$ $=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{(k-1)n^{k-1}}$
は $n\to\infty$ で $I=\dfrac{1}{k-1}$ に収束するので有限である．

このとき，単調増大で上に有界な数列 $S_n$ は収束し，極限値 $S$ は $S\lt I$ を満たす．

極限をとると不等号が等号付きになることがあるが，和の場合は
一箇所でも不等号が成立すれば等号になることはない．