https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1920/Kougaku

[2] $x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}$ ノ極大極小ヲ求メ且 $y=x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}$ ニテ表ハサレタル曲線ヲ畫ケ．

2024.12.21記

本問のテーマ

2024.12.21記
$x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}$ と考えることにより， $x$ の定義域は $x\leqq 1$ となる．

[解答]
$y'=\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}-\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{1}{2}}$ $=x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{4x-13}{6}$
により増減表は

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{4}{13}$	$\cdots$	$1$
$y'$		$-$	×	$+$	$0$	$-$	$1$
$x$	$+\infty$	$\cdots$	$0$ (極小)	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$

となるので， $x=\dfrac{4}{13}$ のとき極大値 $\sqrt[6]{\dfrac{4^4 9^{9}}{13^{13}}}$ をとり， $x=0$ で極小値 $0$ をとる（端点は一般に極値としない）．

なお， $\dfrac{6}{13} \log y=\dfrac{4}{13}\log x+\dfrac{9}{13}\log (1-x)$ と変形できるので， $\mathbf{p}=(4/13,9/13)$ ， $\mathbf{x}=(x,1-x)$ とおくと
$\dfrac{6}{13} \log y=H(\mathbf{p}，\mathbf{x})$ $=H(\mathbf{p})+D(\mathbf{p} || \mathbf{x})\geqq H(\mathbf{p})$ $=\dfrac{4}{13}\log \dfrac{4}{13}+\dfrac{9}{13}\log \dfrac{9}{13}$
が成立する（等号は $x=\dfrac{4}{13}$ ）．