https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1920/Kougaku

[1] 二項定理ヲ用ヒテ $\sqrt[5]{240}$ ト $3$ トノ差ヲ小數第四位マデ索メヨ．

2024.12.20記
一般二項係数 ${}_{\alpha}\mbox{C}_{n}$ を用いた
$(1+x)^{\alpha}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {}_{\alpha}\mbox{C}_{n}x^n$
は $|x|\lt 1$ のとき，任意の実数 $\alpha$ に対して収束するが，答案ではこの議論は省略した．

[解答]
$\sqrt[5]{240}=\sqrt[5]{243-3}=3\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{3^4}}$
$=3\left\{1-{}_{1/5}\mbox{C}_{1} \dfrac{1}{3^4}+{}_{1/5}\mbox{C}_{2} \dfrac{1}{3^8}+\cdots \right\}$
となるので $0\lt (-1)^m {}_{1/5}\mbox{C}_{m}\lt1$ に注意すると
$0\lt \left(3-\sqrt[5]{240}\right)-3\left({}_{1/5}\mbox{C}_{1} \dfrac{1}{3^4}-{}_{1/5}\mbox{C}_{2} \dfrac{1}{3^8}\right)$
$=3\displaystyle\sum_{m=3}^{\infty} |{}_{1/5}\mbox{C}_{m}| \dfrac{1}{3^{4m}}$
$\lt 3\displaystyle\sum_{m=3}^{\infty} \dfrac{1}{3^{4m}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{3^{11}}}{1-\dfrac{1}{3^4}}$
$=\dfrac{1}{80\cdot 3^{7}}$ $=\dfrac{1}{80\cdot 3^{4}\cdot 3^3}$
$\lt \dfrac{1}{80\cdot 80\cdot 25}$ $=\dfrac{1}{160000}$
$\lt \dfrac{1}{10^5}$
であるから，
$\left(3-\sqrt[5]{240}\right)-3\left(\dfrac{1}{5\cdot 3^4}+\dfrac{4}{50\cdot 3^8}\right)$
$=\left(3-\sqrt[5]{240}\right)-\dfrac{814}{50\cdot 3^7}$
$=\left(3-\sqrt[5]{240}\right)-\dfrac{814}{109350}$
$=\left(3-\sqrt[5]{240}\right)-0.0074439…$
により，
$0.0074439…\lt 3-\sqrt[5]{240}\lt 0.0074539$
となるので，求める答えは
$0.0074$
である．

ちなみに
$3-\sqrt[5]{240}=0.00744426…$
であり，
$3\cdot \dfrac{1}{5\cdot 3^4}=0.0074074…$
である．

第1項だけで評価すると，誤差は
$\dfrac{1}{80\cdot 3^{3}}$ $=\dfrac{1}{2160}=0.00046…$
となり，評価は甘くなる．これは，
$|{}_{1/5}\mbox{C}_{m}|$
は単調増加で1に収束する列であるため，最終的には $1$ で評価せざるを得ないが，
$|{}_{1/5}\mbox{C}_{2}|=\dfrac{2}{25}$
のように最初の方では1に比べてかなり小さいため，これを1で評価するのはゆるすぎるということである．