https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1915/Ributu

[3] (a) 直角坐標（rectangular coordinates） $x$ ， $y$ ガ $x=a\cos\Bigl(\dfrac{2\pi t}{T}+\alpha \Bigr)， y=b\cos\Bigl(\dfrac{2\pi t}{T}+\beta \Bigr)$ ，但シ $t$ ハ時間， $a$ ， $b$ ， $\alpha$ ， $\beta$ ， $T$ ハ常數（constants）ニテ表ハサルル運動點ノ道筋ヲ定メ，且ツ此運動ノ著シキ性質ヲ證明セヨ．

(a) 上ノ式ニテ表サル，運動ガ $a$ ， $b$ ， $\alpha$ ， $\beta$ ノ値ニヨツテ特ニ分リ易クナル特別ナル場合ヲ調ベヨ．

2020.03.04記

[解答]
$\theta=\dfrac{2\pi t}{T}+\alpha, \gamma=\beta-\alpha$ とおくと，
$x=a\cos\theta$ ，
$y=b\cos(\theta+\gamma)=b(\cos\gamma\cos\theta+\sin\gamma\sin\theta)$ $=b(\cos\gamma)\dfrac{x}{a}+b\sin\gamma\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}$
なる運動の軌跡を考えれば良い． $\theta$ を消去すると
$\left(y-b(\cos\gamma)\dfrac{x}{a}\right)^2=b^2(\sin^2\gamma)\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$
となり，これを整理すると
$b^2x^2-2ab(\cos\gamma)xy+a^2y^2=a^2b^2\sin^2\gamma$
となる．この2次形式に対応する行列は
$\begin{pmatrix} b^2 & -ab\cos\gamma \\ -ab\cos\gamma & a^2 \\ \end{pmatrix}$
であり，この行列式は非負である．

(a) 一般的な場合，つまり行列式が正となるときは楕円をあらわす．
この楕円は $x=\pm a, y=\pm b$ なる4直線に接する楕円であり，この楕円上を時間 $T$ で周期運動をする．

(b) 行列式が0となるときは線分をあらわす．これは $a=0$ または $b=0$ または $\cos\gamma=\cos(\beta-\alpha)=0$ のときである．このときは， $(a，b)$ と $(-a，-b)$ を結ぶ線分となる．この線分上を時間 $T$ で往復運動をする．