https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1915/Ributu

[1] $\dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\cos\beta t)$ 及ビ $\dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\sin\beta t)$ ヲ見出セ．

2020.03.04記

[解答]
$\gamma=\alpha+i\beta$ （ $i$ は虚数単位）とおくと
$(e^{\alpha t}\cos\beta t)+i(e^{\alpha t}\sin\beta t)=e^{\gamma t}$
だから
$\dfrac{d^4}{dt^4}e^{\gamma t}=\gamma^4e^{\gamma t}$
となる．この実部と虚部から
$\dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\cos\beta t)=e^{\alpha t}\{(\alpha^4-6\alpha^2\beta^2+\beta^4)\cos\beta t-4\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)\sin\beta t\}$ ，
$\dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\sin\beta t)=e^{\alpha t}\{(\alpha^4-6\alpha^2\beta^2+\beta^4)\sin\beta t+4\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)\cos\beta t\}$
となる．