https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1913/Ributu

[4] $9^{9^9}$ ハ約幾桁ノ數ナルカ． $\log 2=0.301，\log 3=0.477$

2019.03.07記
普通の問題．

[解答]
$\log_{10} 9^{9^9}=2\cdot 9^9\log_{10} 3$ である．
$\log_{10} (2\cdot 9^9) =18\log_{10} 3+\log_{10}2\approx 8.887$
及び $\log_{10}6=0.778\lt 0.887\lt \log_{10}8=0.903$ から
$6\times 10^8 \lt 2\cdot 9^9 \lt 8\times 10^8$
だから
$2.862\times 10^8\lt \log_{10} 9^{9^9}\lt 3.816\times 10^8$
となるので真ん中をとって約3億3千万桁の数となる．

というのが粗い評価．もう少し頑張って $\log_{10}7$ を求めると次のようになる．

[別解]
$48\lt 49\lt 50$ から $4\log_{10}2+\log_{10}3\lt 2\log_{10}7\lt 2-\log_{10}2$ となり $0.8405\lt \log_{10}7\lt 0.8495$ となるので $7\times 10^8 \lt 2\cdot 9^9 \lt 8\times 10^8$ となる．よって
$3.339\times 10^8\lt \log_{10} 9^{9^9}\lt 3.816\times 10^8$
となり，真ん中の $3.55775\times 10^8$ をとって約3億6千万桁の数となる．

より正確にするためには $2\cdot 9^9$ を細かく見なければならない． $8\lt 9\lt 10$ で $9$ を評価しようとすると，1回掛ける毎に約1割の誤差がでるので誤差が大きい．実際 $8^9=2^{27}=134217728\lt 9^9 \lt 10^9=1000000000$ と右辺は左辺の7倍以上になっている．

そこで $2^3\cdot 10=80\lt 81=9^2$ を利用して小さく見積ると
$4\times 10^7=40000000<40980000= 2^{12}\cdot 10^4\lt 9^8$
となるので
$7.2\times 10^8\lt 2\cdot 9^9$
であることがわかる．また
$3^9=19683\lt 2\times 10^4$
から
$2\cdot 9^9\lt 8\times 10^8$
であることがわかるが，与えられた対数の値を用いて計算するのに比べて大して精度が上がっていないことがわかる．
対数の値を知っていることがどれだけすごいかわかるだろう．

このまま続けると $7.2\lt 2\cdot 9^9\lt 8\times 10^8$ となり， $3.4344\times 10^8 \lt \log_{10} 9^{9^9}\lt 3.816\times 10^8$ が得られ，約3億6千万桁の数となる．

正確には $2\cdot 9^9=774840978$ から $\log_{10} 9^{9^9}=369693099.6315\cdots$ となるので3億6969万3100桁の数となる．よって有効数字2桁だと約3億7千万桁となるが，その精度で求めるのは骨が折れるだろう．