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1913年(大正2年)東京帝國大學工科大學-數學[3]

[3] Evaluate \displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt\, dt where n is an integer.

[3] n が整数のとき \displaystyle \int_{0}^{\pi}  t\sin nt\, dt を求めよ.

2019.03.07記

[解答]
n=0のとき\displaystyle \int_{0}^{\pi}  t\sin nt dt=\int_{0}^{\pi}  0 dt=0
n\neq 0のとき\displaystyle \int_{0}^{\pi}  t\sin nt dt=\left[\dfrac{-t\cos nt}{n}\right]_{0}^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int_{0}^{\pi}  t\cos nt dt
=\dfrac{-\pi(-1)^n}{n}+\left[\dfrac{t\sin nt}{n^2}\right]_{0}^{\pi}=\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}{n}
である.




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