1913年(大正2年)東京帝國大學工科大學-數學[3]

[3] Evaluate $\displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt\, dt$ where $n$ is an integer.

[3] $n$ が整数のとき $\displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt\, dt$ を求めよ．

2019.03.07記

[解答]
$n=0$ のとき $\displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt dt=\int_{0}^{\pi} 0 dt=0$
$n\neq 0$ のとき $\displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt dt$ $=\left[\dfrac{-t\cos nt}{n}\right]_{0}^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int_{0}^{\pi} t\cos nt dt$ $=\dfrac{-\pi(-1)^n}{n}+\left[\dfrac{t\sin nt}{n^2}\right]_{0}^{\pi}$ $=\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}{n}$
である．

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