https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1887/Nourin_Feb

2022.05.21記
明治20年2月3日臨時入學試験代數學問題

[1] Shew that $(x^2+xy+y^2)^3+(x^2-xy+y^2)^3$ is divisible by $2x^2+2y^2$ .

[2] Shew that $(1+2x^4)$ is never less than $:x^2+2x^3$ .

[3] If the number combination $n$ things $r-r'$ together be equal to the number of combination $n$ things $r+r'$ together, find $n$ .

[4] Shew that $\log_a\left(\dfrac{m}{n}\right)=\log_a m -\log_a n$ ； $\log_a\left(m\times n\right)=\log_a m +\log_a n$ .

[5] Expand $\log_e (1+x)$ in a Series of ascending powers of $x$ and explain how to calcurate $\log_e (2)$ and $\log_e(3)$ .

[6] Find the $(p+q)$ th term of a H.P. of which $P$ is the $p$ th and $Q$ the $q$ th

[1] $(x^2+xy+y^2)^3+(x^2-xy+y^2)^3$ ハ $2x^2+2y^2$ ヲ以テ約シ得ベキヿヲ証セヨ

[2] $(1+2x^4)$ ハ恒ニ $x^2+2x^3$ ヨリ小ナラザルヿヲ証セヨ

[3] $r-r'$ 元ヲ以テ一列トスル $n$ 元ノ錯列變數若シ $r+r'$ 元ヲ以テ一列トスル $n$ 元ノ錯列變數ニ等シキ $n$ ノ値ヲ要ム

[4] $\log_a\left(\dfrac{m}{n}\right)=\log_a m -\log_a n$ 及ビ $\log_a\left(m\times n\right)=\log_a m +\log_a n$ ヲ証セヨ

[5] $\log_e (1+x)$ ヲ $x$ の昇羃ノ級數ニ詳開セヨ且ツ問フ $\log_e (2)$ 及 $\log_e(3)$ ヲ算スル法如何

[6] 諧音級數ニ於テ第 $p$ 項ヲ $P$ トシ第 $q$ 項ヲ $Q$ トシテ第 $p+q$ 項ヲ要ム

「錯列變數」は「二項係数」のこと
「諧音級數」は「調和級数」のこと

2022.05.21記

[解答]
[1] $a^3+b^3$ は $a+b$ を因数にもつので，
$(x^2+xy+y^2)^3+(x^2-xy+y^2)^3$ は $2x^2+2y^2$ で割り切れる

[2] $(1+2x^4)-(x^2+2x^3)$ $=(1-x^2)^2+(x-x^2)^2\geqq 0$

[3] ${}_n\mbox{C}_{r-r'}={}_n\mbox{C}_{r+r'}$ が必ず成立するので $n=2r$

[4] $\log_a (m)=x$ ， $\log_a (n)=y$ とおくと $m=a^x$ ， $n=a^y$ だから
$\dfrac{m}{n}=a^{x-y}$ ， $mn=a^{x+y}$ となり，
$\log_a\left(\dfrac{m}{n}\right)=\log_a m -\log_a n$ ， $\log_a\left(m\times n\right)=\log_a m +\log_a n$
が成立する．

[5] $\log_e (1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$ の収束半径は $-1\lt x\leqq 1$ だから $x=1$ を代入して
$\log_e (2) =\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{5\times 6}+\cdots$
と計算すれば良い． $x=2$ は代入できないので $\log_e (3)$ は
$\log_e(3)=\log_e(2)+\log_e\left(1+\dfrac{1}{2}\right)$ として求めることができる．

[6] 第 $p$ 項が $\dfrac{1}{P}$ ，第 $q$ 項が $\dfrac{1}{Q}$ なる等差数列の第 $p+q$ 項は
$\dfrac{1}{q-p}\left(\dfrac{1}{Q}-\dfrac{1}{P}\right)\{(p+q)-p\}+\dfrac{1}{P}$ $=\dfrac{Pq-pQ}{PQ(q-p)}$
であるから，求める答は $\dfrac{PQ(q-p)}{Pq-pQ}$