2021年(令和3年)東京大学-数学(文科)

[1]
を正の実数とする．座標平面上の曲線 を で定める．原点を中心とする半径 の円と の共有点の個数が 個であるような の範囲を求めよ．

[2]
を 以上の整数とする． 以上 以下の整数から，相異なる 個の整数を選ぶ．ただし は必ず選ぶこととする．選んだ数の集合を とし， に関する以下の条件を考える．

条件1: は連続する 個の整数からなる集合を1つも含まない．

条件2:は連続する 個の整数からなる集合を少なくとも1つ含む．

ただし, 以上の整数 に対して，連続する 個の整数からなる集合とは，ある整数 を用いて と表される集合を指す．例えば は連続する 個の整数からなる集合 ,, を含む．

(1) 条件1を満たすような選び方は何通りあるか．

(2) 条件2を満たすような選び方は何通りあるか．

[3]
を実数とする．座標平面上の放物線 は放物線 と つの共有点をもち，一方の共有点の 座標は を満たし，他方の共有点の 座標は を満たす．

(1)点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)放物線 の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．

[4]
以下の問いに答えよ．

(1)正の奇数 と正の整数 が を満たしているとする． を で割ったあまりが を で割った余りと等しいならば， を で割った余りは を で割った余りと等しいことを示せ．

(2)正の整数 が を満たしているとする．このとき, に対して となるような正の奇数 が存在することを示せ．

(3) は(2)の通りとし，さらに が で割り切れるとする． を で割ったあまりは を で割った余りと等しいことを示せ．

(4) を で割った余りを求めよ．