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2024.04.20記

[1] $xy$ 平面上の曲線 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ に，点 $\left(a，\dfrac{1}{2}a^2\right)$ （ $a\gt 0$ ）で接する円のうち， $y$ 軸の正の部分にも接するものを $S_a$ とおく， $a$ が正の実数を動くときの $S_a$ の中心の軌跡を $C$ ，とくに $S_1$ の中心を $\rm P$ とする．

(1) 点 $\rm P$ の座標を求めよ．

(2) 点 $\rm P$ における曲線 $C$ の接線の傾きを求めよ．

[2] 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数 $f(t)$ ， $g(t)$ が次の6つの条件を満たしているとする．
$f'(t)=-f(t)g(t)$ ， $g'(t)=\{f(t)\}^2$ ， $f(t)\gt 0$ ， $|g(t)|\lt 1$ ， $f(0)=1$ ， $g(0)=0$ ．

このとき，
$p(t)=\{f(t)\}^2+\{g(t)\}^2$ ， $q(t)=\log\dfrac{1+g(t)}{1-g(t)}$
とおく．

(1) $p'(t)$ を求めよ．

(2) $q'(t)$ は定数関数であることを示せ．

(3) $\displaystyle\lim_{t\to\infty} g(t)$ を求めよ．

(4) $f(T)=g(T)$ となる正の実数 $T$ に対して，媒介変数表示された平面曲線 $(x，y)=(f(t)，g(t))$ （ $0\leqq t\leqq T$ ）の長さを求めよ．

[3] $xy$ 平面上に，点 $\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(0，b)$ ， $\mbox{C}(-a，0)$ （ただし $0\lt a\lt b$ ) をとる．点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を通る直線を $\ell$ とし，点 $\mbox{C}$ を通り線分 $\mbox{BC}$ に垂直な直線を $k$ とする．さらに，点 $\mbox{A}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $k$ との交点を $\mbox{C}_1$ とし，点 $\mbox{C}_1$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{A}_1$ とする．以下， $n=1，2，3，\ldots$ に対して，点 $\mbox{A}_n$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $k$ との交点を $\mbox{C}_{n+1}$ ，点 $\mbox{C}_{n+1}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{A}_{n+1}$ とする．

(1) 点 $\mbox{A}_{n}$ ， $\mbox{C}_{n}$ の座標を求めよ．

(2) $\triangle\mbox{CBA}_n$ の面積 $S_n$ を求めよ．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{BA}_n}{\mbox{BC}}$ を求めよ．

[4] $n$ を正の整数とし， $C_1,\ldots,C_n$ を $n$ 枚の硬貨とする．各 $k=1,\ldots,n$ に対し，硬貨 $C_k$ を投げて表が出る確率を $p_k$ ，裏が出る確率を $1-p_k$ とする．この $n$ 枚の硬貨を同時に投げ，表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功，というゲームを考える．

(1) $p_k=\dfrac{1}{3}$ （ $k=1,\ldots,n$ ）のとき，このゲームで成功する確率 $X_n$ を求めよ．

(2) $p_k=\dfrac{1}{2(k+1)}$ （ $k=1,\ldots,n$ ）のとき，このゲームで成功する確率 $Y_n$ を求めよ．

(3) $n=3m$ ( $m$ は正の整数)で， $k=1,\ldots,3m$ に対して
$p_k=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{3m} & (k=1,\ldots,m) \\ \dfrac{2}{3m} & (k=m+1,\ldots,2m) \\ \dfrac{1}{m} & (k=2m+1,\ldots,3m) \end{array}\right.$
とする．このゲームで成功する確率を $Z_{3m}$ とするとき， $\displaystyle\lim_{m\to\infty} Z_{3m}$ を求めよ．

[5] 整数の組 $(a,b)$ に対して $2$ 次式 $f(x)=x^2+ax+b$ を考える．方程式 $f(x)=0$ の複素数の範囲のすべての解 $\alpha$ に対して $\alpha^n=1$ となる正の整数 $n$ が存在するような組 $(a,b)$ をすべて求めよ．

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