https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Titech/1999/03

2026.02.20.18:26:20記

[3] $3$ 辺の長さが $1，1，a$ である三角形の面積を，周上の $2$ 点を結ぶ線分で $2$ 等分する．それらの線分の長さの最小値を $a$ を用いて表せ．

本問のテーマ

双曲線の接線と漸近線でできる三角形の面積
（ヘロンの公式）

2026.02.20.18:26:20記
1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1967年(昭和42年)京都大学-数学(理系)旧課程[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1968年(昭和43年)一橋大学-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2005年(平成17年)東京大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
ヘロンの公式の変な証明 - 球面倶楽部零八式 mark II
などの類題があります．1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR で述べた

三角形 $\mbox{ABC}$ の周上に異なる $2$ 点 $\mbox{P}，\mbox{Q}$ をとり，線分 $\mbox{PQ}$ によってこの三角形の面積を二等分するとき， $\mbox{PQ}$ の長さが最短になるのは，線分 $\mbox{PQ}$ が三角形 $\mbox{ABC}$ の内角のうち最小のものを頂角とする二等辺三角形となる場合である．

が背景にあります．よって $a$ が最短辺か否かで場合分けが生じます．

[解答]
三角形の成立条件より $0\lt a\lt 2$ である．

$\{x，y，z\}=\{1，1，a\}$ とし， $\mbox{XY}=z$ ， $\mbox{YZ}=x$ ， $\mbox{ZX}=y$ の三角形に対して $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を $\mbox{XY}$ ， $\mbox{XZ}$ 上にとり，線分 $\mbox{PQ}$ によってこの三角形の面積を二等分することを考える．

$\mbox{XP}=p$ ， $\mbox{XQ}=q$ とおくと，線分 $\mbox{PQ}$ が $\triangle\mbox{XYZ}$ の面積を二等分するので $pq=\dfrac{yz}{2}$ であり，余弦定理により
$\mbox{PQ}^2=p^2+q^2-2pq\cos X$ $=(p-q)^2+yz(1-\cos X)=\dfrac{x^2-(y-z)^2}{2}$ $=(p-q)^2+\dfrac{(x+y+z-2y)(x+y+z-2z)}{2}$ $=(p-q)^2+\dfrac{(2+a-2y)(2+a-2z)}{2}$
であるから，
$\mbox{PQ}\geqq\sqrt{\dfrac{(2+a-2y)(2+a-2z)}{2}}$ …①
（等号が成立するとは限らない）が成立する．

(1) $0\lt a\leqq 1$ のとき：
$\{x，y，z\}=\{1，1，a\}$ とするとき，①の右辺は $x=a$ ， $y=z=1$ のときに最小となる．このとき $\mbox{PQ}\geqq\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}$ であり，等号は $p=q=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときに成立する．このとき $p=q\leqq\min\{y，z\}=1$ により確かに $\mbox{PQ}$ は線分 $\mbox{XY}，\mbox{XZ}$ 上にあるので適する．

(2) $1\lt a\lt 2$ のとき：
$\{x，y，z\}=\{1，1，a\}$ とするとき，①の右辺は $x=1$ ， $\{y，z\}=\{1，a\}$ のときに最小となる．このとき $\mbox{PQ}\geqq\sqrt{\dfrac{a(2-a)}{2}}$ であり，等号は $p=q=\sqrt{\dfrac{a}{2}}$ のときに成立する．このとき $p=q\lt \sqrt{\dfrac{2}{2}}=1=\leqq\min\{y，z\}$ により確かに $\mbox{PQ}$ は線分 $\mbox{XY}，\mbox{XZ}$ 上にあるので適する．

以上から，最小値は $0\lt a\leqq 1$ のとき $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ ， $1\lt a\lt2$ のとき $\dfrac{\sqrt{a(2-a)}}{\sqrt{2}}$ となる．