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1999年(平成11年)東京工業大学前期-数学[1]

2026.02.20.18:52:09記

[1] 正の実数 $a，b，p$ に対して，
$A=(a+b)^p$ と $B=2^{p-1}(a^p+b^p)$
の大小関係を調べよ．

本問のテーマ

Jensen の不等式

2026.02.20.18:52:09記

[解答]
$A'=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^p$ と $B'=\dfrac{a^p+b^p}{2}$ の大小関係を調べれば良く，
$f(x)=x^p$ として $A'=f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ と $B'=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ の大小関係を調べれば良い．

(i) $0\lt p\lt 1$ のとき， $f(x)$ は上に凸であるから， $A'\geqq B'$ となり，よって $A\geqq B$ （等号成立は $a=b$ ）である．

(ii) $p=1$ のとき， $A=B=a+b$ である．

(iii) $1\lt p$ のとき， $f(x)$ は下に凸であるから， $A'\leqq B'$ となり，よって $A\leqq B$ （等号成立は $a=b$ ）である．

■ $\dfrac{a}{b}=x$ とおくと， $\dfrac{A-B}{b^p}=(x+1)^p-2^{p-1}(x^p+1)$ と $x$ の $1$ 変数関数の問題に帰着されるので，この関数の増減に着目しても良いでしょう．

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