https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Titech/1999/00

2026.02.21.22:51:02記

[1] 正の実数 $a，b，p$ に対して，
$A=(a+b)^p$ と $B=2^{p-1}(a^p+b^p)$
の大小関係を調べよ．

[2] 斜辺の長さが $1$ である正 $n$ 角錐を考える．
つまり，底面を正 $n$ 角形 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\cdots\mbox{A}_n$ ，頂点を $\mbox{O}$ と表せば $\mbox{OA}_1=\mbox{OA}_1=\cdots=\mbox{OA}_n=1$ である．そのような正 $n$ 角錐のなかで最大の体積をもつものを $C_n$ とする．

(1) $C_n$ の体積 $V_n$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} V_n$ を求めよ．

[3] $3$ 辺の長さが $1，1，a$ である三角形の面積を，周上の $2$ 点を結ぶ線分で $2$ 等分する．それらの線分の長さの最小値を $a$ を用いて表せ．

[4] $2$ 以上の自然数 $n$ に対して
$\displaystyle\int_0^1t^{2n-1}e^t\,dt$ $+\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{{}_{2n-1}\mbox{P}_{2n-2k}}{2k+1}\right)e$ $=(2n-1)!$
を示せ．ここで $e$ は自然対数の底である．

[5] 複素平面上の点列 $\mbox{A}_n$ （ $n\geqq 0$ ）が複素数列 $a_n+ib_n$ （ $a_n$ ， $b_n$ は実数， $i$ は虚数単位）を表すとする．
極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a_{\infty}$ ， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b_{\infty}$ がともに存在するとき，複素数 $a_{\infty}+ib_{\infty}$ を表す点 $\mbox{A}_{\infty}$ を $\mbox{A}_n$ の極限点ということにする．
このときつぎの問いに答えよ．

(1) 複素平面上の点列 $\mbox{P}_n$ （ $n\geqq 0$ ）を次のように定める．
$\mbox{P}_0$ は $0$ を表す点とし， $\mbox{P}_1$ は $1+i$ を表す点とする．
以下 $n \geqq 2$ に対しては，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{P}_{n-2}\mbox{P}_{n-1}}$ を反時計まわりに $\dfrac{\pi}{3}$ 回転し，長さを $\dfrac{2}{3}$ 倍したベクトルが $\overrightarrow{\mbox{P}_{n-1}\mbox{P}_n}$ となるように $\mbox{P}_n$ を定める． $\mbox{P}_n$ の極限点 $\mbox{P}_{\infty}$ が表す複素数を求めよ．

(2) 点列 $\mbox{Q}_n$ $(n \geqq 0)$ は次のように定める．
$\mbox{Q}_0$ は0を表す点とし， $\mbox{Q}_1$ は $z=x+iy$ を表す点とする．
以下 $n \geqq 2$ に対しては，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{Q}_{n-2}\mbox{Q}_{n-1}}$ を反時計まわりに $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ 回転し，長さを $\displaystyle\frac{1}{2}$ 倍したベクトルが $\overrightarrow{\mbox{Q}_{n-1}\mbox{Q}_n}$ となるように $\mbox{Q}_n$ を定める． $\mbox{Q}_n$ の極限点 $\mbox{Q}_{\infty}$ と(1)の $\mbox{P}_{\infty}$ が一致するとき $z$ を求めよ．

1999年(平成11年)東京工業大学前期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1999年(平成11年)東京工業大学前期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1999年(平成11年)東京工業大学前期-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1999年(平成11年)東京工業大学前期-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1999年(平成11年)東京工業大学前期-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR