https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Titech/1968/02

2026.02.23.14:47:27記

[2] $b\neq0$ のとき，不等式 $\dfrac{1}{3}\leqq\dfrac{x^2-ax+a^2}{x^2+bx+b^2}\leqq3$ がすべての $x$ に対して成り立つために $\dfrac{a}{b}$ が満たすべき条件を求めよ．

2026.02.23.16:16:30記

[解答]
$b\neq 0$ より $x^2+bx+b^2=0$ の判別式 $-3b^2\lt 0$ であるから $x^2+bx+b^2$ は全実数において正である．

よって $x^2+bx+b^2\leqq 3(x^2-ax+a^2)$ ， $x^2-ax+a^2\leqq 3(x^2+bx+b^2)$ の両方がすべての $x$ について成り立つ条件を求めれば良い．

整理して $2x^2-(3a+b)x+3a^2-b^2\geqq 0$ ， $2x^2+(a+3b)x-a^2+3b^2\geqq 0$ がすべての $x$ について成り立つ条件は， $t=\dfrac{a}{b}$ とおくと，判別式から
$(3a+b)^2-8(3a^2-b^2)=-3b^2(5t^2-2t-3)=-3b^2(t-1)(5t+3)\leqq 0$ ，
$(a+3b)^2+8(a^2-3b^2)=3b^2(3t^2+2t-5)=3b^2(t-1)(3t+5)\leqq 0$
となるので， $-\dfrac{3}{5}\leqq t，t\leqq 1$ と $-\dfrac{5}{3}\leqq t\leqq 1$ から
$-\dfrac{3}{5}\leqq \dfrac{a}{b}\leqq -\dfrac{5}{3}，\dfrac{a}{b}=1$
となる．