https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2026/05

2026.03.16.23:56:08記

[5] $n$ ， $k$ を正の整数とする．次の不等式をみたす最小の $k$ を求めよ．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{100} x^ke^{-x}\sin^2(nx)\, dx\gt 10$
ただし， $e$ は自然対数の底であり， $e\gt 2$ をみたす．

2026.03.17.23:30:40記
1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同じ考え方で
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{100} x^ke^{-x}\sin^2(nx)\, dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{100} x^ke^{-x}\, dx$
となります．ただ，積分区間が $\sin$ の周期と合致しないので少し面倒になります．

[解答]
区間 $I_k=\left[\dfrac{(k-1)\pi}{n}，\dfrac{k\pi}{n}\right]$ において
$(\min_{I_k} f(x))\cdot \displaystyle\int_{I_k} \sin^2 nx dx$ $\leqq \displaystyle\int_{I_k} f(x)\sin^2 nx dx$ $\leqq (\max_{I_k} f(x))\cdot \displaystyle\int_{I_k} \sin^2 nx dx$
であるから，
$\displaystyle\int_{I_k} f(x) \sin^2 nx dx$ $=f(c_k)\displaystyle\int_{I_k} \sin^2 nx dx$ $=f(c_k)\cdot\dfrac{1}{2n}$
をみたす $c_k\in I_k$ が存在する．

ここで $\dfrac{(K-1)\pi}{n}\lt 100\leqq \dfrac{K\pi}{n}$ を満たす $K$ に対して
$\displaystyle\int_0^{(K-1)\pi/n} x^ke^{-x}\sin^2(nx)\, dx$ $\leqq\displaystyle\int_0^{100} x^ke^{-x}\sin^2(nx)\, dx$ $\leqq \displaystyle\int_0^{K\pi/n} x^ke^{-x}\sin^2(nx)\, dx$
が成立するので，
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{K-1} f(c_k)$ $\leqq\displaystyle\int_0^{100} x^ke^{-x}\sin^2(nx)\, dx$ $\leqq\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{K} f(c_k)$
となり，区分求積法とはさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{100} f(x) \sin^2 nx\,dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{100} f(x) \, dx$
が成立する．

よって
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{100} x^ke^{-x}\sin^2(nx)\, dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{100} x^ke^{-x}\, dx$
が成立するので，
$I_k=\displaystyle\int_0^{100} x^ke^{-x}\, dx\gt 20$
を満たす最小の $k$ を求めれば良い．

部分積分により
$I_0=1-\dfrac{1}{e^{100}}$ ， $I_k=kI_{k-1}-\dfrac{100^{k}}{e^{100}}$
が成立する．ここで $e^{100}\gt 2^{100}\gt 1000^{10}=10^{30}$ に注意すると
$kI_{k-1}-\dfrac{1}{10^{30-2k}}\lt I_k \lt kI_{k-1}$
が成立する．よって
$1-\dfrac{1}{10^{30}}\lt I_0\lt 1$
により
$1-\dfrac{1}{10^{30}}-\dfrac{1}{10^{28}} \lt I_1\lt 1$ ，
$2-\dfrac{2}{10^{30}}-\dfrac{2}{10^{28}}-\dfrac{1}{10^{26}} \lt I_2\lt 2$ ，
$6-\dfrac{6}{10^{30}}-\dfrac{6}{10^{28}}-\dfrac{3}{10^{26}}-\dfrac{1}{10^{24}} \lt I_3\lt 6$ ，
$24-\dfrac{24}{10^{30}}-\dfrac{24}{10^{28}}-\dfrac{12}{10^{26}}-\dfrac{4}{10^{24}}-\dfrac{1}{10^{22}} \lt I_4\lt 24$
が成立する．
よって $I_1\lt 20$ ， $I_2\lt 20$ ， $I_3\lt 20$ ， $I_4\gt 20$ となり，求める最小の $k$ は $4$ である．

流石に
$\dfrac{24}{10^{30}}+\dfrac{24}{10^{28}}+\dfrac{12}{10^{26}}+\dfrac{4}{10^{24}}+\dfrac{1}{10^{22}} \lt 1$
は明らかとして良いと思いますが，例えば
$\dfrac{24}{10^{30}}+\dfrac{24}{10^{28}}+\dfrac{12}{10^{26}}+\dfrac{4}{10^{24}}+\dfrac{1}{10^{22}}$ $\lt \dfrac{24+24+12+4+1}{10^{22}}\lt\dfrac{65}{10^{22}}\lt 1$
のように評価することができます．

$k$ がある程度小さければ $k!-1\lt I_k\lt k!$ になるということです．