https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2026/02

2026.03.16.23:56:08記

[2] $n$ は $4$ 以上の整数であり， $x，y，z$ はすべて正の整数であるとする．

(1) $1\leqq r\lt n$ をみたす整数 $r$ に対して， ${}_n\mbox{C}_r={}_{n-1}\mbox{C}_r+{}_{n-1}\mbox{C}_{r-1}$ および ${}_{n+1}\mbox{C}_{r+1}=\displaystyle\sum_{k=r}^n {}_{k}\mbox{C}_r$ が成り立つことを示せ．

(2) 空間の点 $(x，y，z)$ で， $x+y+z\lt n$ をみたすものの個数を $n$ 用いて表せ．

(3) 空間の点 $(x，y，z)$ で， $x+y+z=3n$ かつ $x\lt y\lt z$ をみたすものの個数を $n$ を用いて表せ．

本問のテーマ

ホッケースティック恒等式
ピックの定理

2026.03.17.13:52:07記
ホッケースティック恒等式 ${}_{n+1}\mbox{C}_{r+1}=\displaystyle\sum_{k=r}^n {}_{k}\mbox{C}_r$ の証明の一つは 2026年(令和8年)京都大学-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を参照してください．

(2)は有名問題で $x+y+z+w=n$ を満たす正の整数解の個数となり，並んだ $n-1$ 個の玉の間に仕切りを $3$ つ入れる場合の数 ${}_{n-1}\mbox{C}_3$ が答となります．誘導に乗らずにこの有名で答えても構いませんが，これを(1)を使って解けというのが誘導の意図のようです．

[解答]
(1) ${}_{n-1}\mbox{C}_r+{}_{n-1}\mbox{C}_{r-1}$ $=\dfrac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$ $=\dfrac{(n-1)!\{(n-r)+r\}}{r!(n-r)!}$ $=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ $=\dfrac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$
であり，これより
$\displaystyle\sum_{k=r}^n {}_{k}\mbox{C}_r$ $={}_{r}\mbox{C}_r+\displaystyle\sum_{k=r+1}^n ({}_{k+1}\mbox{C}_{r+1}-{}_{k}\mbox{C}_{r+1})$ $=1+({}_{r+1}\mbox{C}_{r+1}-{}_{r+1}\mbox{C}_{r+1})$ $=1+({}_{r+1}\mbox{C}_{r+1}-1)$ $={}_{n+1}\mbox{C}_{r+1}$
である．

(2) $x+y=k$ （ $k=2，4，…，n$ ）を満たす正の整数 $(x，y)$ の組の個数は $k-1={}_{k-1}\mbox{C}_1$ であるから，
$x+y\lt m$ （ $m\geqq 3$ ）を満たす正の整数 $(x，y)$ の組の個数は
$\displaystyle\sum_{k=2}^{m-1} {}_{k-1}\mbox{C}_1$ $=\displaystyle\sum_{k'=1}^{m-2} {}_{k'}\mbox{C}_1$ $={}_{m-1}\mbox{C}_2$ 　個（∵(1)）
となる．よって $x+y+z=m$ （ $m\geqq 3$ ）を満たす正の整数 $(x，y，z)$ の組の個数は $x+y\lt m$ （ $m\geqq 3$ ）を満たす正の整数 $(x，y)$ から $z=m-(x+y)$ が一意に決まるので ${}_{m-1}\mbox{C}_2$ 個となる．

よって $x+y+z\lt n$ （ $n\geqq 4$ ）を満たす正の整数 $(x，y，z)$ の組の個数は
$\displaystyle\sum_{t=3}^{n-1} {}_{m-1}\mbox{C}_2$ $=\displaystyle\sum_{t'=2}^{n-2} {}_{t'}\mbox{C}_2$ $={}_{n-1}\mbox{C}_3$
$=\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}$ 個（∵(1)）
となる．

(2) $x+y+z=3n$ を満たす正の整数 $(x，y，z)$ の組の個数は ${}_{3n-1}\mbox{C}_2$ 個である．これらのうち $x=y=z$ となるのは $1$ 個である

(i) $n$ が偶数のとき：
$x=y\neq z$ となるものは $x=1，2，…，\dfrac{3n}{2}-1$ の $\dfrac{3n}{2}-1$ 個から $x=y=z=n$ を除いた $\dfrac{3n-4}{2}$ 個であるから，求める個数は
$\dfrac{1}{6}\left\{{}_{3n-1}\mbox{C}_2-1-3\cdot\dfrac{3n-4}{2}\right\}$ $=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{9n^2-18n+12}{2}$ $=\dfrac{3n^2-6n+4}{4}$
となる．

(i) $n$ が奇数のとき：
$x=y\neq z$ となるものは $x=1，2，…，\dfrac{3n-1}{2}$ の $\dfrac{3n-1}{2}$ 個から $x=y=z=n$ を除いた $\dfrac{3n-3}{2}$ 個であるから，求める個数は
$\dfrac{1}{6}\left\{{}_{3n-1}\mbox{C}_2-1-3\cdot\dfrac{3n-3}{2}\right\}$ $=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{9n^2-18n+9}{2}$ $=\dfrac{3(n-1)^2}{4}$
となる．

[うまい解答]
(3) $(0，0)$ ， $(n，n)$ ， $\left(0，\dfrac{3n}{2}\right)$ で作られる三角形の内部にある格子点の数 $I$ を求めれば良い．

(i) $n$ が偶数のとき：
三角形の頂点はいずれも格子点なので，ピックの定理より
$\dfrac{3n^2}{4}=I+\dfrac{1}{2}\left(n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{3n}{2}\right)-1$
が成立し， $I=\dfrac{3n^2-6n+4}{4}$ となる．

(i) $n$ が偶数のとき：
$\left(0，\dfrac{3n}{2}\right)$ は格子点ではないので， $(0，0)$ ， $(n，n)$ ， $\left(1，\dfrac{3n-1}{2}\right)$ ， $\left(0，\dfrac{3n-1}{2}\right)$ で作られる四角形の内部にある格子点の数が $I$ となる．よってピックの定理より
$\dfrac{3n^2}{4}-\dfrac{1}{4}=I+\dfrac{1}{2}\left(n+\dfrac{n-1}{2}+1+\dfrac{3n-1}{2}\right)-1$
が成立し， $I=\dfrac{3n^2-6n+3}{4}$ となる．