https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/TItech/2026/01

2026.03.16.23:56:08記

[1](1) $x$ は無理数であり，有理数 $a，b$ および正の整数 $n$ により $x=a+b\sqrt{n}$ と表されるとする．このとき， $x^2+px+q=0$ が成り立つような有理数 $p，q$ を求めよ．また，そのような有理数 $p，q$ の組はただ一つに限ることを示せ．

(2) $x$ は無理数であり，有理数 $a，b$ および正の整数 $n$ により $x=a+b\sqrt[3]{n}$ と表されるとする．このとき， $x^3+px^2+qx+r=0$ が成り立つような有理数 $p，q，r$ を求めよ．また，そのような有理数 $p，q，r$ の組はただ一つに限ることを示せ．

2026.03.17.01:02:38記

[解答]
(1) $(x-a)^2=nb^2$ から $p=-2a$ ， $q=a^2-nb^2$ となる．

$x^2+px+q=0$ と $x^2-2ax+a^2-nb^2=0$ の両方が成り立つとき，この差から
$(p+2a)x+(q-a^2+nb^2)=0$
が成立する．ここで $p+2a\neq 0$ と仮定すると $x=\dfrac{(a^2-nb^2)-q}{p+2a}$ となり，左辺は無理数，右辺は有理数となって矛盾する．よって $p+2a=(a^n-nb^2)-q=0$ となり， $p，q$ の組はただ一つである．

(2) $(x-a)^3=nb^3$ から $p=-3a$ ， $q=3a^2$ ， $r=-a^3-nb^2$ となる．

$x^3+px^2+qx+r=0$ と $x^3-3ax^2+3a^2x-a^3-nb^3=0$ の両方が成り立つとき，この差から
$(p+3a)x^2+(q-3a^2)x+(r+a^3+nb^3)=0$
が成立する．ここで $p+3a\neq 0$ と仮定すると
$x=\dfrac{-(q-3a^2)\pm\sqrt{(q-3a^2)^2-4(p+3a)(r+a^3+nb^3)}}{2(p+3a)}$
であるから，この $2$ つの $x$ のうちどちらかが $a+b\sqrt[3]{n}$ となる．ここで
$\dfrac{\sqrt{(q-3a^2)^2-4(p+3a)(r+a^3+nb^3)}}{2(p+3a)}$
が有理数であると仮定すると $x$ が無理数であることに矛盾するので，これは無理数であり，それを $\alpha$ とおくと， $x=A\pm\alpha$ （ $A$ は有理数）の形となる．ここで $\alpha^2$ は有理数となることに注意する．

$b=0$ とすると $x=a$ が有理数となって矛盾するので $b\neq 0$ であり，このとき，
$nb^3=(x-a)^3=(A-a)^3+3(A-a)\alpha^2\pm \{3(A-a)^2+1\}\alpha$
から
$\alpha=\pm\dfrac{nb^3-(A-a)^3-3(A-a)\alpha^2}{3(A-a)^2+1}$
（ $3(A-a)^2+1\neq 0$ である）が成立し， $\alpha$ が無理数であることに矛盾する．よって $p+3a=0$ である．

このとき $(q-3a^2)x+(r+a^3+nb^3)=0$ （ $x$ は無理数）となるが，(1)と同様にして $q-3a^2=r+a^3+nb^3=0$ となり，よって $p，q，r$ の組はただ一つである．

代ゼミの解答速報では「一般に，解の公式の形を考えると，有理数係数の $2$ 次方程式の解に $\sqrt[3]{n}$ （ただし $\sqrt[3]{n}$ は無理数）があらわれることはないため，これは矛盾である．ゆえに， $p+3a=0$ が分かる」とありましたが，これを明らかとして良いかは微妙な気がします．

2026.03.17記
結局は $\sqrt[3]{n}$ が無理数のとき， $\sqrt[3]{n^2}$ も無理数であり，
$A\sqrt[3]{n^2}+B\sqrt[3]{n}+C=0$ （ $A，B，C$ が有理数）
ならば $A=B=C=0$ となることを示せば良いことになるので，それを示した解答をしてみます．

[別解]
$\alpha$ が無理数のとき，有理数 $A，B$ に対して $A\alpha+B=0$ ならば $A=B=0$ である．…(★)

(2) 整数 $n$ に対して $\sqrt[3]{n}$ が無理数のとき， $\sqrt[3]{n^2}=\dfrac{n}{\sqrt[3]{n}}$ も無理数である．

ここで有理数 $A，B，C$ に対して
$A\sqrt[3]{n^2}+B\sqrt[3]{n}+C=0$
が成立する場合， $A=0$ ならば(★)より $B=C=0$ ， $B=0$ ならば(★)より $A=C=0$ となり， $C=0$ なら $A\sqrt[3]{n}+B=0$ と(★)より $A=B=0$ となるので， $ABC\neq 0$ の場合について考える．

このとき $B\sqrt[3]{n^2}+C\sqrt[3]{n}+An=0$ から $(B^2-AC)\sqrt[3]{n}+(BC-nA^2)=0$ と(★)から $B^2=AC$ ， $BC=nA^2$ が成立し， $ABC=B^3=nA^3$ となり， $\sqrt[3]{n}=\dfrac{B}{A}$ となり $\sqrt[3]{n}$ が無理数であることに反する．よって

「整数 $n$ に対して $\sqrt[3]{n}$ が無理数のとき， $A\sqrt[3]{n^2}+B\sqrt[3]{n}+C=0$ ならば $A=B=C=0$ である．」…(☆)

さて， $(x-a)^3=nb^3$ から $p=-3a$ ， $q=3a^2$ ， $r=-a^3-nb^2$ となる．

$x^3+px^2+qx+r=0$ と $x^3-3ax^2+3a^2x-a^3-nb^3=0$ の両方が成り立つとき，この差から
$(p+3a)x^2+(q-3a^2)x+(r+a^3+nb^3)=0$
が成立し，
$(p+3a)(a+\sqrt[3]{n})^2$ $+(q-3a^2)(a+\sqrt[3]{n})+(r+a^3+nb^3)=0$ ，
つまり
$(p+3a)\sqrt[3]{n^2}$ $+\{2(p+3a)a+(q-3a^2)\}\sqrt[3]{n}$ $+(p+3a)a^2+(q-3a^2)a+(r+a^3+nb^3)=0$
が成立する．よって(☆)から
$p+3a=2(p+3a)a+(q-3a^2)=(p+3a)a^2+(q-3a^2)a+(r+a^3+nb^3)=0$
となり， $p+3a=q-3a^2=r+a^3+nb^3=0$ が成立する．よって $p，q，r$ の組はただ一つである．