2026年(令和8年)東京科学大学(理工学系)-数学

[1](1) は無理数であり，有理数 および正の整数 により と表されるとする．このとき， が成り立つような有理数 を求めよ．また，そのような有理数 の組はただ一つに限ることを示せ．

(2) は無理数であり，有理数 および正の整数 により と表されるとする．このとき， が成り立つような有理数 を求めよ．また，そのような有理数 の組はただ一つに限ることを示せ．

[2] は 以上の整数であり， はすべて正の整数であるとする．

(1) をみたす整数 に対して， および が成り立つことを示せ．

(2) 空間の点 で， をみたすものの個数を 用いて表せ．

(3) 空間の点 で， かつ をみたすものの個数を を用いて表せ．

[3] と を正の実数とし，座標平面の 点 ，， を考える． の中点を ， の中点を とし， の外心を とする．

(1) 点 ， のそれぞれの座標を と を用いて表せ．

(2) 点 ， を通る直線上の点 で， をみたすものすべてについて，それぞれの座標を と を用いて表せ．

(3) (2) の条件をみたす点 で，
∽，∽
のうち少なくとも一方が成り立つようなものをすべて求めよ．

[4] を虚数単位とする．実数 に対して複素数 を で定める．正の整数 に対し，複素数平面上の点 と点 通る直線を とする．複素数 に対し，直線 に関して点 と対称な位置にある点を表す複素数を とする．

(1) 複素数 と共役な複素数を とする．このとき， をみたす実数 ， をそれぞれ を用いて表せ．

(2) 実数 に対して，，（）で定められる複素数の列 の一般項を求めよ．

[5] ， を正の整数とする．次の不等式をみたす最小の を求めよ．

ただし， は自然対数の底であり， をみたす．